@CT 1 @LM 1 @RM 70 @PL 60 @TB -----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T @MT 0 @MB 0 @PO 5 @PN 1 @OP @LH 6 1. FUNKCE Definice :  Mnoina M je podmnoinou mnoiny R. Funkce f je mnoina uspodanch dvojic [x;y], pro kter plat : kadmu x M je piazeno prv jedno y R (ne vce !). Promnn x se nazv nezvisle promnn [argument] a promnn y se na zv zvisle promnn. slo y R se pro urit x R (pro nا plat [x;y] f) nazv funkn hodnota funkce f a oznauje se f(x). Jinak : Funkce je kad zobrazen v mnoin R. Graf funkce y = f(x) je mnoina vech bod o souadnicch [x;f(x)], kde x D(f). Definin obor funkce f je mnoina D, kter m tu vlastnost, e ke ka dmu slu x D je piazeno prv jedno takov slo y, aby platilo [x;y] f. Definin obor funkce zname D(f). Obor hodnot funkce f je mnoina H, kter m tu vlastnost, e ke kadmu slu y H existuje takov slo x D, aby platilo [x;y] f. Obor hodnot funkce zname H(f). Funkce rostouc Funkce f(x) je rostouc v intervalu , jestlie pro kad dv hodnoty x1 < x2 z intervalu  plat, e f(x1) < f(x2). y   .   .    f(x) .    .    .  f(x2)     . f(x1)         a x1 x2 0 b x Funkce klesajc Funkce f(x) je klesajc v intervalu , jestlie pro kad dv hodnoty x1 < x2 z intervalu  plat, e f(x1) > f(x2). . y  .   .      .   .  f(x2)  .    f(x1)   .        a x1 x2 0 b x Sud funkce  Funkce y = f(x) se nazv sud, prv kdy definin obor D funkce f je soumrn podle potku souadnho systmu (tj. s kadm bodem x D pat do oboru D tak bod -x), a pro kad x D plat f(-x) = f(x). Graf sud funkce je soumrn podle osy y. Lich funkce  Funkce y = f(x) se nazv lich, prv kdy definin obor D funkce f je soumrn podle potku souadnho systmu (tj. s kadm bodem x D pat do oboru D tak bod -x), a pro kad x D plat f(-x) = -f(x). Graf lich funkce je soumrn podle potku souadnho systmu. @LH 3 @LH 6 3.EXPONENCILN FUNKCE  Exponenciln rovnic nazvme takovou rovnici, kde se promnn x vys kytuje v exponentu. Obecn lze exponenciln rovnice eit jen graficky nebo piblinmi numerickmi metodami. Jen v nkterch jednoduchch zvltnch ppadech lze tyto rovnice pevst na algebraick rovnice. Exponenciln funkce Obecn tvar funkce : y = ax (a > 0) Graf exponenciln funkce : (vdy prochz bodem [0;1], protoe a0 = 1) y 9 8 7 6 5 4 3 2 y=1x  1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x Definin obor : D(f) = R Obor hodnot : H(f) = R+\{0} (vechna kladn reln sla) een exponenciln rovnice  ax = b (a>0 , a<>1 , b>0) lze eit : a) bez logaritmovn, jestlie lze leny rovnice vyjdit jako mocniny tho zkladu : b cax = cb - x = a b) logaritmovnm : lg b  x = logab, pop. x lg a = lg b - x = lg a Pklad 1 : Pklad 2 :  3ax+2 = ax-5 2x = 7 a(x+2)/3 = a(x-5)/2 x log 2 = log 7 x + 2 x - 5 log 7 = x = 3 2 log 2 2x + 4 = 3x - 15 x = 19 @LH 3 @LH 6  3.Goniometrick funkce  Goniometrick funkce je spoleensk nzev pro funkce sinus (symbol sin), kosinus (symbol cos), tangens (symbol tg) a kotangens (symbol cotg). Jednotkov krunice  y /2 II. 1  I. 0 < < /2  /2 < < M N yM  yM  -1 xM 0 xN 1 x III. -1  IV. 3/2  M [xM,yM] Ŀ Ŀ sin = yM  I. II. III . IV. cos = xM  Ĵ sin + + - - sin Ĵ tg = , cos <> 0 cos + - - + cos Ĵ tg + - + - cos Ĵ cotg = , sin <> 0 cotg + - + - sin Grafy funkc  ------------------------------ ------------------------------ SINUS ------------------------------ ------------------------------ KOSINUS TANGENS KOTANGENS Ŀ 0 30 45 60 90 Ĵ sin 0 /2  3/2  1 Ĵ cos 1 3/2  /2  0 Ĵ tg 0 3/3  1 3 - Ĵ cotg - 3 1 3/3  0 Ŀ 0 /2  3/2 2 Ĵ sin 0 1 0 -1 0 Ĵ cos 1 0 -1 0 1 Ĵ tg 0 - 0 - 0 Ĵ cotg - 0 - 0 - Periodinost goniometrickch funkc  sin ( + k.2) = sin Ŀ cos ( + k.2) = cos k Z tg ( + k.) = tg cotg ( + k.) = cotg ٍ Hodhoty sinu a kosinu se opakuj po 2, hodnoty tangenty a kotangenty po . Vztahy mezi goniometrickmi funkcemi stejnho argumentu  sin + cos = 1 tg . cotg = 1 sin 1 tg = 1 + tg = cos cos cos 1 cotg = 1 + cotg = sin sin Vztahy mezi goniometrickmi funkcemi doplkovch hl  sin = cos (90 - ) cos = sin (90 - ) tg = cotg (90 - ) cotg = tg (90 - ) Zkladn goniometrick vzorce Soutov vty:  sin ( ) = sin cos cos sin cos ( ) = cos cos sin sin tg tg tg ( ) =  1 + tg tg Goniometrick funkce nsobnho hlu:  sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos - sin 2 . tg tg 2 = 1 - tg Goniometrick funkce polovinho hlu:  1 - cos sin = ˳ 2 2 1 + cos cos = ˳ 2 2 1 - cos tg = ˳ 2 1 + cos Pevod soutu a rozdlu sin a kosin na souin:  + - sin + sin = 2 . sin . cos 2 2 + - sin - sin = 2 . cos . sin č 2 2 + - cos + cos = 2 . cos . cos 2 2 + - cos - cos = 2 . sin . sin 2 2 @LH 3 @LH 6 4 . Aritmetick posloupnost @LH 3 @LH 6  Definice : Posloupnost nekonen je funkce, jejm defininm oborem jsou vechna pi rozen sla (bez omezen). n N Posloupnost konen je funkce, jejm defininm oborem jsou pirozen sla men ne n0. n < n0  N  Aritmetickou posloupnost nultho du nazvme konstantn posloupnost (d = 0). slo d se nazv diference aritmetick posloupnosti [an]. Zpis posloupnosti  (-1)n  nekonen posloupnost zapsan n-tm lenem n n=1  n n0  konen posloupnost n + 1 n=1  Obecn : an  index lene n-t len Grafick znzornn posloupnosti  n + 1 3 4 5 6 ..... 2 ; ; ; ; ; ..... n n=1 2 3 4 5 an 2 . . . x Grafem jsou izolovan body .  . . . . . . . x  . .  . . . . . . . . . . . x  . . . . . . . . . . . . . . ..x  1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x  . . . . .  . . . . .  . . . . .  . . . . .  . . . . .  0 1 2 3 4 5 n Rekurentn zadn aritmetick posloupnosti  Aritmetick posloupnost je zadna rekurentn, jestlie je zadno nko lik prvnch len a pedpis, jak tvoit leny dal. Pklad :  Posloupnost je zadna : a1 = 1 ; a2 = 2 an+2 = an+1 + an  pedpis pro : n = 1 : a3 = a2 + a1 = 2 + 1 = 3 n = 2 : a4 = a3 + a2 = 3 + 2 = 5 n = 3 : a5 = a4 + a3 = 5 + 3 = 8 n = 4 : a6 = a5 + a4 = 8 + 5 = 13 . . . Posloupnost rostouc a klesajc  Rostouc : an+1 > an nap. 3, 7, 11, 15, ... 3 4 5 Klesajc : an+1 < an nap. 2, , , ... 2 3 4 Pro souet prvnch n len aritmetick posloupnosti plat : a1 + an  sn = a1 + a2 + ... + an = n 2 Pro n-t len aritmetick posloupnosti plat : an = ak + (n - k) d pro vechna n,k N @LH 3 @LH 6 5.Limita funkce  Abychom mohli definovat limitu, zavedeme nejprve pojem okol bodu.  a - a a + Interval ( a - ; a + ) je oteven okol bodu a. Interval < a - ; a + > je uzaven okol bodu a. okol bodu a Definice limity :  Funkce f(x) m v bodu x = a limitu A, jestlie pro kad libovoln؍ zvolen  > 0 existuje  > 0 takov, e pro x z  okol bodu a je hodnota funkce f(x) v  okol A. lim f(x) = A x->a nazvme V bodech, v nich je funkce definovna, je limita rovna funkn hodnota vypoteme ji pmo dosazenm. y y = f(x) Ŀ AĿ Ŀ 0 a- a a+ x Vty o limit  1) Konstantn funkce : y = c lim c = c x->a  2) lim c f(x) = c . lim f(x) x->a x->a  3) lim [ f(x) g(x) ] = lim f(x) lim g(x) x->a x->a x->a  4) lim [ f(x) . g(x) ] = lim f(x) . lim g(x) x->a x->a x->a  lim f(x) f(x) x->a  5) lim = lim g(x) <> 0 x->a g(x) lim g(x) x->a  x->a  6) Jestlie f(x) = g(x) , pak lim f(x) = lim g(x) x->a x->a  Nevlastn limita funkce kme, e funkce y = f(x) m v bod a nevlastn limitu + resp . , prv؍ kdy ke kadmu slu K existuje takov slo  > 0, e provechny x, pro nا je 0 < x - a < , plat f(x) > K, resp. f(x) < K. lim f(x) = + resp. lim f(x) = - x->a x->a Pklad : 1 lim = D(f) = R\{3} x->3 x - 3 limita nevlastn x 3,1 3,01 3.001 . . . 2,999 2,99 2,9 y 10 100 1000 . . . -1000 -100 -10 Limita funkce v nevlastnm bod kme, e funkce y = f(x) m v nevlastnm bod + , resp. -  limituA, prv kdy ke kadmu slu  > 0 existuje takov bod c, e pro vechnybody x > c, resp. x < c plat  f(x) - A < . lim f(x) = A resp. lim f(x) = A x-> x-> Derivace funkce Definice : Derivace funkce je limita podlu prstku funkce ku prstku promnn_x, kdy _x->0. Geometricky pedstavuje derivace funkce y = f(x)  smrniciteny t grafu funkce y = f(x) v danm bodu x. f( x + _x ) - f(x) y' = lim _x->0 _x y y = f(x) B s t A _y Ĵ f(x) f(x+_x) 0 x _x x+_x x _y ks = tg = _x _y = f(x + _x) - f(x) _x . . . prstek promnn x _y . . . prstek funkce @LH 3 ks . . . smrnice seny AB @LH 6 6.MOIVROVA VTA slo komplexn je slo sloen z sti reln a sti ryze imaginrn. Pro komplexn slo z = [a,b] se zavdj tyto pojmy: a = Re z - reln st komplexnho sla z  _ b = Im z - imaginrn st komplexnho sla z  z = [a,-b] - slo komplexn sdruen k slu z z = (a + b) - absolutn hodnota (modul) komplexnho sla z  Goniometrick tvar komplexnho sla  a = a1 + a2i - soutov (algebraick) tvar a = (a1 + a2) - velikost komplexho sla a (absolutn hodnota) y A(a) a a2  0 x - argument komplexnho sla - je to orientovan hel s potenm ramenem +x a koncovm ramenem a (orientovan hel je hel, kter m ureno poten a koncov rameno. Komplexn slo a = a1 + a2i vyjden pomoc argumentu a absolutn hodnoty a: a1  cos = - a1 = a . cos a a2  sin = - a2 = a . sin a a = a1 + a2i a = a . cos + ia . sin a = a . (cos + i sin ) - komplexn slo v goniometrickm tvaru ( a = 0 ) ...... a0 = cos + i sin - komplexn jednotka v gonio metrickm tvaru Nsoben komplexnch sel v goniometrickm tvaru  a = a.(cos + i sin ) b = b.(cos + i sin ) a . b = a.(cos + i sin ).b.(cos + i sin ) = = a.b.(cos cos + i cos sin + i sin cos + i sin sin ) = = a.b.[cos cos - sin sin + i(sin cos + sin cos )] = = a.b.[cos( + ) + i sin( + )] Absolutn hodnota souinu dvou komplexnch sel je rovna souinu abso lutnch hodnot jednotlivch initel. Argument souinu dvou komplexnch sel je roven souinu argument jednotlivch initel. Pro komplexn jednotky a0 = cos + i sin b0 = cos + i sin a0 b0 = cos( + ) + i sin( + ) Souin komplexnch jednotek je opt komplexn jednotka, kter m argu ment rovn soutu jednotlivch initel. Mocnina komplexnho sla v goniometrickm tvaru  a = a.(cos + i sin ) a = a.(cos 2 + i sin 2) an = an.(cos n + i sin n) Moivrova vta:  a = 1 ...... a0 = cos + i sin Ŀ a0n = (cos + i sin )n = cos n + i sin n Umocnme-li komplexn jednotku na n-tou, pak vsledkem je opt komplex n jednotka s argumentem n. @LH 3 @LH 6 7.GRAFY GONIOMETRICKCH FUNKC  Goniometrick funkce je spoleensk nzev pro funkce sinus (symbol sin), kosinus (symbol cos), tangens (symbol tg) a kotangens (symbol cotg). Jednotkov krunice  y /2 II. 1  I. 0 < < /2  /2 < < M N yM  yM  -1 xM 0 xN 1 x III. -1  IV. 3/2  Vztahy mezi goniometrickmi funkcemi stejnho argumentu  sin + cos = 1 tg . cotg = 1 sin 1 tg = 1 + tg = cos cos cos 1 cotg = 1 + cotg = sin sin Sestrojen zkladn sinusoidy y = sin x  y ------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------x  ------------------------------------------------------- napmen hel Vznam konstant sinusoidy y = A . sin (bx + c)  A - amplituda sinusovky (pm mrnost) b - frekvence sinusovky (nepm mrnost) c - fzov posun Grafy goniometrickch funkc, definin obor, obor hodnot f1 = { [x,y] ; y = sin x, xR, y<-1,1> } ................... (sinusoida) f2 = { [x,y] ; y = cos x, xR, y<-1,1> } ................. (kosinusoida) f3 = { [x,y] ; y = tg x, xR \ {(2k + 1). }, yR } ...... (tangentoida) f4 = { [x,y] ; y = cotg x, xR \ { k }, yR } .......... (kotangentoida) ------------------------ ------------------------------ ------------------------ ------------------------------ @LH 3 @LH 6 8. ANALYTICK VYJDEN PMKY  Pmka je prsenic dvou rovin. Zna se malmi latinskmi psmeny (a, b, p, g, ...). Jsou-li A, B dva rzn body pmky, pak se tato pmka zna " Pmka AB ".  Parametrick rovnice pmky  . y .  \  -> . X = [x,y]  s .  A .  \ .   . .   . . ->  . y1 . s - smrov vektor .   .    0 x1 x  Smrov vektor pmky je kad vektor rovnobاn s touto pmkou. -> Pmka je dna bodem A = [x1;y1] a smrovm vektorem s (s1;s2) : ->  p = ( A ; s ) Bod X m souadnice [x;y]. Rovnice pmky je vztah, kter plat pro souad nice kadho bodu X pmky p : x = x1 + ts1 t - parametr y = y1 + ts2 Parametrick rovnice pmky v prostoru x = x1 + ts1  y = y1 + ts2 t - parametr z = z1 + ts3  Smrnicov tvar rovnice pmky  y .  .  .  .  . y = kx + q  .  .  .  . .  . q .    . 0 x  k = tg je tzv. smrnice pmky, piem je orientovan hel, jeho vrchol je v potku souadnho systmu, jedno rameno tvo osa x a druh rameno je rovnobاn s danou pmkou libovoln؍ orientovanou. q - tzv. sek vyat pmkou na ose y (y-ov souanice prseku pmky s osou y). k > 0 - pmka je grafem rostouc funkce y = kx + q k = 0 - pmka je rovnobاn s osou x k < 0 - pmka je grafem klesajc funkce y = kx + q q = 0 - pmka prochz potkem Obecn rovnice pmky  -> Odvozen : p (A = [x1;y1], s (s1;s2)] p : x = x1 + ts1 / .s2  y = y1 + ts2 / .(-s1) x . s2 = x1s2 + ts1s2  +  -y . s1 = -s1y1 - ts1s2  xs2 - ys1 = x1s2 - y1s1  s2x - s1y + y1s1 - x1s2 = 0 A B C A x + B y + C = 0 - Pmka je dna linern rovnic o dvou promnnch A = s1 B = -s2 -> s2 = -B -> Smrov vektor pmky : s = (-B ; A) -> Vektor n = (A ; B) nazvme normlov vektor pmky (protoe je k n kolm). Dkaz : Pomoc skalrnho souinu vektor : -> -> -> -> -> ->  s . n = -B . A + A . B = 0 -> n s -> n p kde a,b,c jsou konstanty, piem konstanty a,b <> 0. Peveden obecn rovnice pmky na smrnicov tvar  a c a c y = - x - (b <> 0), k = - , q = - b b b b Obecn rovnice pmky v prostoru neexistuje. @LH 3 @LH 6 9. NEPM MRNOST A MOCNINN Fce. Kad funkce, dan rovnic k y = , k R \ {0} x kde k je libovoln reln slo rzn od nuly, se nazv nepm mrnost. k > 0 k < 0 Definin obor i obor hodnot jsou prvky R \ {0}. Grafem nepm mrnosti je rovnoos hyperbola. @LH 3 @LH 6 10.KVADRATICK NEROVNICE Nerovnice jsou zpisy tvaru : e(x) > p(x) e(x) < p(x) e(x) p(x) e(x) p(x) Dovolen pravy nerovnic jsou obdobn jako pravy rovnic, a na vyjmky : 1) Nsobme-li ob strany nerovnice zpornm slem, obrt se znak nerovnice. Pklad : 2 < 5 / . (-1) -2 > -5 2) Pejdeme-li na obou stranch nerovnice k pevrcenm hodnotm, obrt se znak nerovnice. Pklad : 2 < 4 > Kvadratick nerovnice jsou zpisy tvaru : ax + bx + c > 0 ax + bx + c 0 ax + bx + c < 0 ax + bx + c 0 Kvadratick nerovnice se e rozkladem kvadratickho trojlenu na souin : ax + bx + c = a . (x - x1) . (x - x2) Pklad : ete v oboru R : x - 2x - 15 > 0 x - 2x - 15 - rozlome na souin : x - 2x - 15 = 0 x1 = 5, x2 = -3 x - 2x - 15 = (x - 5) . (x + 3) (x - 5) . (x + 3) > 0 (x > 5 x < -3) (x < 5 x > -3) P1 = P2 = (-3;5) P = ( -3 ; 5 ) Grafick een kvadratick nerovnive Je dna nerovnice ax + bx + c N 0 , kde N je znak nerovnosti. Nakreslme graf funkce f: y = ax + bx + c, a z prsek, pp. prseku grafu funkce (paraboly) urme een dan nerovnice. @LH 3 @LH 6 11.EEN PRAVOHLHO TROJHELNKU  eit pravohl trojhelnk znamen urit na zklad danch prvk prvky ostatn. C b a vc  c2  c1  A B D c a,b - dlky odvsen = 90 = rad - velikost hlu proti pepon c - dlka pepony vc - dlka vky k pepon Pythagorova vta  a + b = c Slovy : Obsah tverce sestrojenho nad peponou se rovn soutu obsah tverc, sestrojench nad obma odvsnami. Euklidova vta o odvsn  a = c . ca b = c . cb Euklidova vta o vce  (vc) = ca . cb  Goniometrick funkce je spoleensk nzev pro funkce sinus (symbol sin), kosinus (symbol cos), tangens (symbol tg) a kotangens (symbol cotg). V pravohlm trojhelnku plat tyto vztahy: protilehl odvsna pilehl odvsna sin = cos = pepona pepona protilehl odvsna pilehl odvsna tg = cotg = pilehl odvsna protilehl odvsna Urenost pravohlho trojhelnka Pravohl trojhelnk je uren, jsou-li dny alespo : - ob odvsny - pepona a jedna odvsna - pepona a hel k n pilehl EEN PRAKTICKCH LOH Pklad 2: Schodit s padesti schody m vku 9 m a sklon 24. Vypotte vku v a ku s jednoho schodu. _ ABC : 9 v = = 0,18 50 v 0,18 s = = = 0,4 sin 0,45 Jeden schod je 40 cm irok a 18 cm vysok. Pklad 1: Urete namhn na tlak a tah u nosnk podle obrzku. G = 1800 N = 52 F1 = ? F2 = ? _ MPN : G G sin = .......... F2 = F2 sin G G tg = .......... F1 = F1 tg F1 = 1406,31 N F2 = 2284,23 N @LH 3 @LH 6 12. PRAVA ALGEBRAICKCH VRAZ  Zkladn algebraick vzorce  (a + b) . (a - b) = a - b - rozdl tverc (a + b) = a + 2ab + b (a - b) = a - 2ab + b (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + a3  (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - a3  Usmrovn zlomk Usmrnit zlomek znamen odstranit odmocninu nebo odmocniny ze jmnenovatele vhodnm rozenm zlomku. Pklad : 1 / .(4 - 8) 4 - 8 4 - 8 4 - 8 = = = 4 + 8 / .(4 - 8) (4 + 8) . (4 - 8) 4 - 8 8 @LH 3 13.EXPONENCILN A LOGARITMICK Fce. @LH 6  INVERZN FUNKCE  Definice funkce  Mnoina M je podmnoinou mnoiny R. Funkce f je mnoina uspodanch dvojic [x;y], pro kter plat : kadmu x M je piazeno prv jedno y R (ne vce !). Promnn x se nazv nezvisle promnn [argument] a promnn y se na zv zvisle promnn. slo y R se pro urit x R (pro nا plat [x;y] f) nazv funkn hodnota funkce f a oznauje se f(x). Jinak : Funkce je kad zobrazen v mnoin R. Grag funkce y = f(x) je mnoina vech bod o souadnicch [x;f(x)], kde x D(f). Definin obor funkce f je mnoina D, kter m tu vlastnost, e ke kadmu slu x D je piazeno prv jedno takov slo y, aby platilo [x;y] f. Definin obor funkce zname D(f). Obor hodnot funkce f je mnoina H, kter m tu vlastnost, e ke kadmu s lu y H existuje takov slo x D, aby platilo [x;y] f. Obor hodnot funkce zname H(f). Funkce prost  Funkce y = f(x) s defininm oborem D se nazv prost, jestlie pro kad dv sla x1, x2  D (x1 <> x2) plat f(x1) <> f(x2). Funkce inverzn  Jestlie funkce y = f(x) je prost na intervalu D a jejm obrem hodnot je mnoina H, lze na mnoin H definovat takovou funkci, kter kadmu y H piazuje prv jedno slo x D, pro kter plat f(x) = y. Tato fun kce se nazv funkce inverzn k funkci f a zna se f-1. Funkce f a f-1 se pak nazvaj vzjemn inverzn. Defininm oborem funkce f-1 je obor hodnot funkce f, a oborem hodnot funkce f-1 je definin obor funkce f. Grafy funkc f a f-1 jsou soumrn podle osy prvnho a tetho kvadrantu. Jestlie funkce f je dna v analytickm tvaru y = f(x), pak analytick tvar inverzn funkce dostaneme tak, e v analytickm tvaru funkce f vude msto x peme y a msto y peme x a v takto zskanm vyjden osamostast nme y. Exponenciln funkce Obecn tvar funkce : y = ax (a > 0) Graf exponenciln funkce : (vdy prochz bodem [0;1], protoe a0 = 1) y 9 8 7 6 5 4 3 2 y=1x  1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x Definin obor : D(f) = R Obor hodnot : H(f) = R+\{0} (vechna kladn reln sla) Logariotmick funkce Obecn tvar funkce : y = logax (x > 0 , a > 0 , a <> 1) Graf logaritmick funkce : (vdy prochz bodem [1;0], protoe loga 1 = 0) y 4 3 2 1 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x -2 -3 -4 Funkce logaritmick a exponenciln jsou vzjemn inverzn. @LH 3 @LH 6 14.SKALRN SOUIN DVOU VEKTOR @LH 3 @LH 6  ODCHYLKY VEKTOR  Protoe u mnoha geometrickch a fyziklnch veliin (nap. u sly, rychlosti, zrychlen, intenzity elektrickho pole, atd.) jsou podstatn ve likost, a smr, vytv se jejich model (tzv. geometrick vektor) pomoc pojmu orientovan seky neboli pomoc uspodan dvojice bod v rovin. __ Vzanm vektorem nazvme orientovanou seku AB nebo uspodanou dvo jici [A,B] bod, piem bod A nazvme potenm bodem vektoru a bod B koncovm bodem vektoru. __ Nositelkou vzanho vektoru AB nazvame pmku AB. Volnm vektorem nazvme mnoinu vech vzjemn ekvivalentnch vzanch vektor (tzn. vektor, kter se rovnobاnm posunutm do jednoho spolenho bodu ztoton). Zobrazen vektoru v souadnm systmu  Vektor v rovin je dn uspodanou dvojic souadnic. _ __ u = AB A = [x1;y1] B = [x2;y2] u1 =x2 - x1  y u2 =y2 - y1  _ souadnice vektoru u  _ B u y2 - y1 = u2  A Ĵ x2 - x1 y2  y1  u = (u1;u2)  u1  0 x1 x2 x _ _ _ _ Jestlie vektor u je relnm nsobkem vektoru v, pak vektory u a v jsou rovnobاn (kolinern); zapisujeme u  v. Opan: _ _ _ _ Jestlie vektor u je kolinern s vektorem v, pak plat u = t . v. Dva nenulov vektory nazvme souhlasn rovnobاn (souhlasn olinern  prv kdy jsou rovnobاn a maj stejn smr. Dva nenulov vektory nazvme nesouhlasn rovnobاn (nesouhlasn koli nern), prv kdy jsou rovnobاn a maj opan smr. Skalrn souin vektor _ _ u = (u1;u2) v = (v1;v2) : _ _ _ _ 1) u . v = v . u . cos _ _ 2) u . u = u1v1 + u2v2 Skalrn souin kolmch vektor je nula (cos 90 = 0). Je-li skalrn souin nenulov, jsou vektory rznobاn. Odchylka dvou rznobاnch vektor Ze vzorc pro skalrn souin vektor odvodme vztah u1v1 + u2v2  cov =  u.v @LH 3 @LH 6 15.GONIOMETRICK ROVNICE  Goniometrickmi rovnicemi nazvme rovnice, kter krom konstant obsa huj neznmou x (nebo vrazy s neznmou x) jako argumenty jedn nebo nkoli ka goniometrikch funkc, tj. rovnice tvaru f(sin x, cos x, tg x, cotg x, x) = 0 Zkladn goniometrickou rovnic s neznmou x nazvme rovnici typu g(x) = k, kde g je goniometrick funkce a k je reln slo. Vzhledem k periodinosti goniometrickch funkc m kad zkladn goniometrick rovnice bu przdn nebo nekonen obor pravdivosti. Zpravidla hledme jen een z intervalu <0,360>, tj. hledme tzv. zkladn hodnoty. Poetn zpsob een  Pomoc goniometrickch vzorc pevedeme goniometrick funkce s ppad nmi rznmi argumenty na funkce s tm argumentem. Potom ppadn rzn go niometrick funkce vyjdme jedinou goniometrickou funkc. Zskan een je teba vdy ovit dosazenm do vchoz rovnice, nebo pravy rovnic nemu sely bt ekvivalentn. Pklad:  Vypotte vechna x <0,360> z rovnice sin(2x) = sin x. Podle vzorce pro sin(2x) je 2 sin x cos x = sin x 2 sin x cos x - sin x = 0 Z posledn rovnice lze vytknout sin x : (sin x) (2 cos x - 1) = 0 sin x = 0 dv zkladn hodnoty x1 = 0, x2 = 180, x3 = 360; 2 cos x - 1 = 0 dv zkladn hodnoty x4 = 60, x5 = 300. Zkouka ukazuje, e vechna nalezen een spluj danou rovnici, take obor pravdivosi P = {0, 60, 180, 300, 360} Gragick zpsob een  Upravme danou rovnici na tvaf f(x) = g(x), kde f a g jsou goniometric k funkce a pro vechna x <0,360> sestrojme grafy funkc y = f(x) a y = g(x). eenm jsou souadnice prsek tchto graf. Zkladn goniometrick vzorce Soutov vty:  sin ( ) = sin cos cos sin cos ( ) = cos cos sin sin tg tg tg ( ) =  1 + tg tg Goniometrick funkce nsobnho hlu:  sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos - sin 2 . tg tg 2 = 1 - tg Goniometrick funkce polovonho hlu:  1 - cos sin = ˳ 2 2 1 + cos cos = ˳ 2 2 1 - cos tg = ˳ 2 1 + cos Pevod soutu a rozdlu sn a kosn na souin:  + - sin + sin = 2 . sin . cos 2 2 + - sin - sin = 2 . cos . sin č 2 2 + - cos + cos = 2 . cos . cos 2 2 + - cos - cos = 2 . sin . sin 2 2 @LH 3 @LH 6 16.prava goniometrickch vraz  Goniometrick funkce je spoleensk nzev pro funkce sinus (symbol sin), kosinus (symbol cos), tangens (symbol tg) a kotangens (symbol cotg). Jednotkov krunice  y /2 II. 1  I. 0 < < /2  /2 < < M N yM  yM  -1 xM 0 xN 1 x III. -1  IV. 3/2  M [xM,yM] Ŀ Ŀ sin = yM  I. II. III . IV. cos = xM  Ĵ sin + + - - sin Ĵ tg = , cos <> 0 cos + - - + cos Ĵ tg + - + - cos Ĵ cotg = , sin <> 0 cotg + - + - sin Zkladn vztahy mezi goniometrickmi funkcemi  sin + cos = 1 tg . cotg = 1 sin 1 tg = 1 + tg = cos cos cos 1 cotg = 1 + cotg = sin sin @LH 3 @LH 6 17.SNOV A KOSNOV VTA  Trojhelnk je n-helnk pro n = 3. C b a A c B Vta sinov  a : b : c = sin : sin : sin Pomr stran obecnho trojhelnka je roven pomru sin vnitnch hl. Vta kosinov (rozen Pythagorova vta) Ŀ a = b + c - 2 bc cos b = a + c - 2 ac cos c = a + b - 2 ab cos Obsah tverce nad stranou obecnho trojhelnka je roven soutu obsah tverc nad ostatnmi stranami mnus dvojnsobn souin tchto stran a kosi nu hlu jimi sevenm. Vty o urenosti trojhelnka  Trojhelnk je jednoznan uren, jsou-li dny tyto jeho prvky: a) dlka strany a velikosti dvou k n pilehlch hl, jejich souet veli kost je men ne 180 (vta usu) b) dlky dvou stran a velikost hlu jimi sevenho (vta sus) c) dv rzn dlky stran a velikost hlu protilehlho k del stran (vta Ssu) d) dlky t stran, pro nا plat a - b < c < a + b (vta sss) een obecnho trojhelnka  eit obecn trojhelnk znamen urit na zklad danch prvk prvky ostatn. 1) Je dna strana a a hly , (usu) : = 180 - ( + ) sinov vta : a sin a sin b = c = sin sin 2) Jsou dny strany a,b (b > a) a hel  (Ssu) : sinov vta : a a sin sin = . sin c = b sin = 180 - ( + ) 3) Jsou dny strany b,c a hel  (sus) : kosinov vta : a = b + c - 2 bc cos sinov vta : b sin = . sin a = 180 - ( + ) 4) Jsou dny strany a,b,c (sss) : kosinov vta : b + c - a cos = 2 bc sinov vta : b sin = . sin Ѝ a = 180 - ( + ) @LH 3 @LH 6 18.KOLINERN A LINERN FUNKCE Definice funkce  Mnoina M je podmnoinou mnoiny R. Funkce f je mnoina uspodanch dvojic [x;y], pro kter plat : kadmu x M je piazeno prv jedno y R (ne vce !). Promnn x se nazv nezvisl promnn [argument] a promnn y se na zv zvisle promnn. slo y R se pro urit x R (pro nا plat [x;y] f) nazv funkn hodnota funkce f a oznauje se f(x). Jinak : Funkce je kad zobrazen v mnoin R. Grag funkce y = f(x) je mnoina vech bod o souadnicch [x;f(x)], kde x D(f). Definin obor funkce f je mnoina D, kter m tu vlastnost, e ke ka dmu slu x D je piazeno prv jedno takov slo y, aby platilo [x;y] f. Definin obor funkce zname D(f). Obor hodnot funkce f je mnoina H, kter m tu vlastnost, e ke kadmu slu y H existuje takov slo x D, aby platilo [x;y] f. Obor hodnot funkce zname H(f). Konstantn funkce f(x) = c je takov funkce, jej obor hodnot nabv pouze jednoho sla (konstanty c). Defininm oborem tto funkce je cel mnoina relnch sel. Grafem konstantn funkce je pmka rovnobاn s osou x.  y 3 2 y = 1.5 1 x -2 -1 0 1 2 3 4 5  -1 @LH 3 @LH 6 19.KVADRATICK ROVNICE  Kvadratick funkce Je to kad funkce y = ax + bx + c a R\0, b,c R  f : {[x,y] RxR ; y = ax + bx + c } ax ..... kvadratick len bx ...... linern len c ....... absolutn len Kvadratick rovnice  y = 0 : ax + bx + c = 0 Hledme hodnoty promnn x, pro kter je hodnota funkce rovna nule. een kvadratick rovnice 1. Rovnice bez absolutnho lene - e se vytknutm x c = 0 : ax + bx = 0 x . (ax + b) = 0 I. x1 = 0 II. ax + b = 0 b b x2 = - P = { 0, - } a a Kvadratick rovnice bez absolutnho lene m vdy dva koeny, z nich jeden je roven nule. 2. Rovnice ryze kvadratick  b = 0 : ax + c = 0 c x + = 0 a c x - - = 0 a Ŀ c c x - - = 0 - 0 a a c c x + - . x - - = 0 a a c I. x + - = 0 a c x1 = - - a c II. x - - = 0 a c x2 = - a c P = { - } a Ryze kvadraticnk rovnice m vdy dva koeny, kter se li pouze znamenm 3. plan (obecn) kvadratick rovnice  ax + bx + c = 0 b c a . x + x + = 0 / :a a a b c x + x + = 0 a a b b c b x + - + = 0 x + = y 2a 4a a 2a b c y - + = 0 4a a b c y - + = 0 4a a b c y = - - rovnice ryze kvadratick 4a a b - 4ac y = / 4a b - 4ac y12 = č 4a b - 4ac y12 = 2a b b - 4ac x12 = - č 2a 2a - b b - 4ac x12 = 2a b - 4ac = D - diskriminant kvadratick rovnice Vznam diskriminantu D  -b D x12 = 2a D > 0 - dva koeny reln rzn (eenm je dvouprvkov mnoina relnch sel) D = 0 - jeden koen dvojnsobn (eenm je jednoprvkov mnoina) D < 0 - rovnice nem reln een Rozklad kvadratickho trojlenu na souin ax + bx + c = 0 a,b,c R \ 0 - kvadratick trojlen polome ax + bx + c = 0 .......... dostaneme koeny x1, x2  b c x1 + x2 = - x1 . x2 = a a b c ax + bx + c = a . x + x + = a a = a . x - (x1 + x2) . x + x1 . x2  = = a . x - x . x1 - x . x2 + x1 . x2  = = a . x . (x - x1) - x2 . (x - x1) = a . (x - x1) . (x - x2) - souin koenovch initel Zvr : ax + bx + c = a . (x - x1) . (x - x2) , kde x1, x2 jsou koeny kvadratick rovnice ax + bx + c = 0. @LH 3 20.een soustavy rovnic @LH 6  K jednoznanmu uren mnoiny vech een soustavy rovnic s n nezn mmi je teba n vzjemn nezvislch a vzjemn si neodporujcch rovnic. Zpsob een spov v tom, e se n rovnic s n neznmmi postupn redukuje na jednu rovnici s jednou neznmou. Pomoc hodnoty jedn neznm vypoten z tto rovnice lze postupn najt hodnoty ostatnch neznmch. ZKLADN METODY EEN SOUSTAV Dosazovac (substitun, vyluovac) metoda  eme jednu z rovnic pro kteroukoliv neznmou a zskan vraz dosadme do druh rovnice. Tm odstranme jednu promnnou. Pokud po dosazen dostane me rovnost 0 = 0, m soustava nekonen mnoho een, pokud dostaneme ne pravdiv vrok, nem soustava dn een. Stac (aditan, sluovac) metoda  Ob strany kad rovnice vynsobme takovm vhodnm slem, aby u jedn z neznmch byl v obou rovnicch stejn koeficient, ale s opanm znamnkem. Setenm obou rovnic pslunou neznmou odstranme. Pokud po dosazen dos taneme rovnost 0 = 0, m soustava nekonen mnoho een, pokud dostaneme nepravdiv vrok, nem soustava dn een. @LH 3 @LH 6 21.Konstruktivn lohy  Shodn zobrazen  Shodn zobrazen (shodnost) je takov zobrazen, kter kadm dvma prvkm A, B piazuje obrazy A',B' tak, e plat AB = A'B'. Samodrun body - takov body, kter jsou danm zobrazenm piazeny samy sob (A A'). Shodn zobrazen v rovin : - osov soumrnost - stedov soumrnost - oten - posunut - totonost @LH 3 @LH 6 22.N-t odmocnina nezpornho sla  Nezporn slo b, pro nا plat bn = a , se nazv n-t odmocnina z sla a, a zna se na (msto a peme a). slo a se nazv zklad odmocnny (odmocnnec) a slo n se nazv odmocnitel. ( a,b R0+, n N ) Pro odmocniny plat ( a,b R0+, m,n N, k Z ) : Existuje prv jedno slo b, pro nا plat bn = a. Dle n0 = 0 n1 = 1 1a = a n(ab) = na . nb a na n˳ = (b <> 0) b nb (na)k = nak = ak/m (a <> 0) na . ma = nman+m  a + b = [a + b + 2(ab)] a - b = [a + b - 2(ab)] (a b) a + (a - b) a - (a - b) (a b) = ˳ ˳ (a b) 2 2 Usmrovn zlomk Usmrnit zlomek znamen odstranit odmocninu nebo odmocniny ze jmnenovatele vhodnm rozenm zlomku. Pklad : 1 / .(4 - 8) 4 - 8 4 - 8 4 - 8 = = = 4 + 8 / .(4 - 8) (4 + 8) . (4 - 8) 4 - 8 8 Pklady :  1 a = (a > 0) a a 1 a b = (a <> b, b > 0) a b a - b 1 a b = (a <> b, a > 0, b > 0) a b a - b @LH 3 @LH 6 23.Obsahy rovinch obrazc  Zkladn vzorce 1. Rovnobاnk ............... S = ava = ab sin a) obdlnk ............. S = ab b) tverec .............. S = a c) kosotverec .......... S = av = u1u2 2. Trojhelnk : S = ava = bvb = cvc  S = ab sin = bc sin = ac sin a + b + c S = \/ s . (s - a) . (s - b) . (s - c) , s = 2 a + c 3. Lichobاnk ............... S = v 2 Obsah kruhu a jeho st  . d Obsah kruhu ........................... S = . r = 4 Obvod kruhu ........................... o = 2 r = d r Obsah kruhov vsee ...... Sv = = r arc = l r 360 Kruhov vse je prnik kruhu a stedovho hlu. Obsah kruhov see ...... Su = r (arc - sin ) Kruhov se je prnik kruhu a poloroviny. @LH 3 @LH 6 24.Geometrick posloupnost  Posloupnost {an} se nazv geometrick posloupnost, prv kdy plat : an+1 = an . q pro vechna n Z, kde slo q<>0 se nazv kvocient geometrick posloupnosti {an}. {an} = (a1, a1q, a1q2, a1q3, ...... ) Pro q > 1 je geometrick posloupnost pi : a1 > 0 - rostouc a1 < 0 - klesajc Pro 0 < q < 1 je geometrick posloupnost pi : a1 > 0 - klesajc a1 < 0 - rostouc Pro q < 0 je geometrick posloupnost alternujc (se stdavmi znamnky) Pro q = 1 je dostaneme konstantn posloupnost, (s konstantnmi leny). Pro n-t len geometrick posloupnosti plat : an = a1qn-1 pro vechna n N Pro souet prvnch n len geometrick posloupnosti plat : a1(qn - 1) anq - a1  sn = = pro q <> 1 q - 1 q - 1 sn = a1n pro q = 1 Pravideln vzrst @LH 3 @LH 6  25.Komplexn slo slo komplexn je slo sloen z sti reln a sti ryze imaginrn. Pro komplexn slo z = [a,b] se zavdj tyto pojmy: a = Re z - reln st komplexnho sla z  _ b = Im z - imaginrn st komplexnho sla z  z = [a,-b] - slo komplexn sdruen k slu z z = (a + b) - absolutn hodnota (modul) komplexnho sla z  Grafick znzornn komplexnch sel  Protoe kadmu komplexnmu slu z pslu prv jedna uspodan dvojice [a,b], lze je znzornit jako bod [a,b] v tzv. Gaussov rovin (rovi na komplexnch sel). y A(a) 4i . . . . . . . x bod A je obra B . zem komplexnho x . . . . . 3i . sla a  .  .  . 2i .  .  .  . 1i .  -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x . -1i .  .  .  . -2i . . . . . x A = 4 + 4i .  D B = -3 + 3i x . . .-3i C = -2 - 3i C D = 3 - 2i -4i Goniometrick tvar komplexnho sla  a = a1 + a2i - soutov (algebraick) tvar a = (a1 + a2) - velikost komplexho sla a (absolutn hodnota) y A(a) a a2  0 x - argument komplexnho sla - je to orientovan hel s potenm ramenem +x a koncovm ramenem a (orientovan hel je hel, kter m ureno poten a koncov rameno. Komplexn slo a = a1 + a2i vyjden pomoc argumentu a absolutn hodnoty a: a1  cos = - a1 = a . cos a a2  sin = - a2 = a . sin a a = a1 + a2i a = a . cos + ia . sin a = a . (cos + i sin ) - komplexn slo v goniometrickm tvaru ( a = 0 ) ...... a0 = cos + i sin - komplexn jednotka v gonio metrickm tvaru Absolutn hodnota komplexnho sla Absolutn hodnota komplexnho sla je vzdlennost jeho obrazu od potku. y a R0+  A(a) a a = (a1 + a2) a2  a1 x Komplexn sla opan a = a1 + a2i k nmu opan : -a = -a1 - a2i Obrazy komplexnch sel opanch jsou soumrn podle potku. y A(a) -a1  0 a1 x A'(a') Komplexn sla sdruen  _ a = a1 + a2i k nmu sdruen : a = a1 - a2i Komplexn sla sdruen se li pouze znamenm pi imaginrn sloce. Obrazy komplexnch sel sdruench jsou soumrn podle reln osy. y A(a) a2  0 a1  x -a2  _ A(a) @LH 3 @LH 6 26.een kvadritick rovnice v oboru @LH 3 @LH 6  komplexnch sel  Kvadratick funkce Je to kad funkce y = ax + bx + c a R\0, b,c R  f : {[x,y] RxR ; y = ax + bx + c } ax ..... kvadratick len bx ...... linern len c ....... absolutn len Kvadratick rovnice  y = 0 : ax + bx + c = 0 Hledme hodnoty promnn x, pro kter je hodnota funkce rovna nule. ax2 + bx + c = 0 - b D x12 = D = b2 - 4ac 2a D > 0 - dva koeny reln rzn D = 0 - jeden koen dvojnsobn D < 0 - rovnice nem een v oboru R (dva koeny komplexn sdruen) een kvadratick rovnice D = - D ..... D = (-D) = (-1.D) = (-1) . ˳D = i.˳D - b -1 . D - b i D x12 = = 2a 2a -b ˳D x12 = i 2a 2a Komplexn sla sdruen  _ a = a1 + a2i k nmu sdruen : a = a1 - a2i Komplexn sla sdruen se li pouze znamenm pi imaginrn sloce. Obrazy komplexnch sel sdruench jsou soumrn podle reln osy. y A(a) a2  0 a1  x -a2  @LH 3 _ @LH 6 @LH 3 27.Linern rovnice a nerovnice @LH 6  s absulutn hodnotou  Definice absolutn hodnoty Absolutn hodnota relnho sla a se zna a a definuje se takto : a 0 - a = a a < 0 - a = - a Rovnice nebo nerovnice s absolutn hodnotou se e nadvakrt : poprve pro ppad, kdy je vraz v absolutn hodont kladn nebo roven nule a podruh pro ppad, kdy je tento vraz zporn. Vsledn obor pravdivosti je pak dn sjednocenm tchto dvou vsledk. Pklad : x R : x - 2 < 5 I. x - 2 0 ......... x - 2 = x - 2 x 2 x - 2 < 5 x < 7 P1 = <2 ; 7> II. x - 2 < 0 ......... x - 2 = - (x - 2) = 2 - x x < 2 2 - x < 5 - x < 3 x > -3 P2 = (-3 ; 2) P = P1 U P2 = <2 ; 7> U (-3 ; 2) = (-3 ; 7) Grafick znzornn : y1 = x - 2 ; y2 = 5 y1 < y2  y  y1 = x - 2 5 y2 = 5 x  - 3 0 7  A(a) @LH 3 @LH 6 28.Binomick vta  Faktoril sla n  Faktorilem sla n nazvme funkci F na mnoin vech nezpornch ce lch sel, definovanou takto : F(0) = 1 F(n + 1) = (n + 1) F(n) (n N0) Msto F(n) peme n!. Plat 0! = 1. Pro n 1 je n! = 1 . 2 . ..... . (n - 1) . n Kombinan slo - jeho vpoet  n n . (n - 1) . (n - 2) . ....... . (n - k + 1) = k k! Pascalv trojhelnk k uren kombinanch sel n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 n = 6 1 6 15 20 15 6 1 Pascalv trojhelnk lze pout k odvozovn algebraickch vzorc, typu (a b)n : (a b)2 = a 2ab + b , odkud (a + b) = (a - b) + 4ab (a b)3 = a3  3a2b + 3ab b3  (a b)4 = a4  4a3b + 6a2b2  4ab3 + b4  (a b)5 = a5  5a4b + 10a3b2  10a2b3 + 5ab4  b5 Binomick vta pro kladn celoseln exponenty n : n n n n (a + b)n = an + an-1b + an-2b2 + an-3b3 + 0 1 2 3 n n + ... + abn-1 + bn  n - 1 n Pro (a - b)n plat pedchoz vzorec s tm rozdlem, e se u jednotlivch len stdaj znamnka (ponaje kladnm). Uren r-tho lene binomickho rozvoje (a + b)n 0 < r < n r-t len : n = an-r+1 . br-1  r - 1 @LH 3 @LH 6 @LH 3 @LH 6 39. URIT INTEGRL  Uritm integrlem spojit funkce f(x) v mezch od a do b nazvme prstek b  f(x) dx = F(b) - F(a) , a kter tak zapisujeme ve tvaru b  F(x) a kde F je primitivn funkce k funkci f na intervalu (a,b); tento interval na zvme integranm oborem a slo a nazvme doln (slo b horn) integra n mez. Vpoet uritho integrlu se takto pevd na uren primitivn funkce, do n se za promnnou dosad postupn horn a doln mez integrlu a vsledn hodnoty se (v uvedenm poad) odetou. Vlastnosti uritho integrlu  a  f(x) dx = F(a) - F(a) = 0 a  a b  f(x) dx = - f(x) dx b a  a < b < c : c b c  f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx a a b  Uit uritho integrlu VPOET OBSAHU OBRAZC  .  y y = f(x) .  Hledme obsah obrazce omezenho grafem, osou x  .  a souadnicemi y v bo- _y dech x1 a x2 (kivoar . .  lichobاnk). Obsah S zvis na x (je funkc promnn x). y _ S y+_y 0 x1 x _x x2 x y . _x < _S < (y + _y)._x / : _x > 0 _S y < < y + _y _x Jestlie _x > 0 ....... _y > 0 _S y < lim < y _x->0 _x _S lim = y => S' = y (S'dx = dy) _x->0 _x S = y dx = F(x) + C x = x1 : S(x1) = F(x1) + C = 0 => C = -F(x1) x2 x = x2 : S(x2) = F(x2) + C => S(x2) = F(x2) - F(x1) = y dx x1  x1 x2  S = lim _S = f(x) dx _x->0 x2 x1 Urit integrl je limita soutu nekonen mnoha nekonen malch element. Obsah vypoten uritm integrlem vychz orientovan : nad osou x kladn, pod osou x zporn. VPOT OBJEMU ROTANCH TLES Rotan tleso vznikne rotac grafu funkce y = f(x) kolem osy x (osa x je v tomto ppad osa oten). . [f(x)] . _x < _V < . [f(x + _x)] . _x / : _x _V . [f(x)] < < . [f(x + _x)] _x Jestlie _x > 0 ...... _y > 0 : _V _V . lim [f(x)] < lim < . lim [f(x)] => lim = . [f(x)] _x->0 _x->0 _x _x->0 _x->0 _x x2  V' = . [f(x)] => V = . [f(x)] dx x1  b VPOET DLKY OBLOUKU KIVKY : l = (1 + [f(x)]) dx a  b VPOET POVRCHU ROTANHO TLESA : A = 2 f(x) . (1 + [f'(x)]) dx a @LH 3 @LH 6  40. PARABOLA  Obecn algebraick rovnice druhho stupn v x a y : F(x,y) = a11x + 2a12xy + a22y + 2a13x + 2a23y + a33 = 0 Koeficienty aik jsou reln sla. Touto rovnic lze vyjdit kadou kuelo seku (tj. krunici, elipsu, hyperbolu, parabolu, dvojici pmek a bod). Diskriminant kueloseky : a11 a12 a13  a21 a22 a23  a31 a32 a33  Diskriminant kvadratickch len : = a11 a12  a21 a22  Je-li  = 0 , je rovnic urena parabola, pi nenulov hodnot  je rovnic urena hyperbola nebo elipsa. Definice paraboly :  Parabolou nazvme mnoinu prv tch bod roviny, kter maj stejn vzdlenosti od pevnho bodu F tto roviny (ohnisko) a od pevn pmky d tto roviny (pmka dc), piem pmka d neprochz bodem F. d y . -----------------------o . ' P ' . p  p  - .- 2  2  D V0 F ox ' ' . ' . ' . ' F - ohnisko paraboly d - dc [urujc] pmka [direktrix] o - osa paraboly V - vrchol paraboly DF = p - poloparametr paraboly 2DF - parametr paraboly PF - ohniskov prvodi PL - dc prvodi Rovnice paraboly v zkladn poloze (osa paraboly v ose x a vrchol v potku) : y = 2px piem pro p>0 je parabola oteven doprava a pro p<0 je oteven doleva. dc pmka m rovnici : p p x = - , a ohnisko F = ; 0 2 2 Vrcholov rovnice paraboly (osa paraboly rovnobاn s osou x a vrchol V = [m,n] ) : (y - n) = 2p(x - m) piem pro p>0 je parabola oteven doprava a pro p<0 je oteven doleva. dc pmka m rovnici : p p x = m - , a ohnisko F = m + ; n 2 2 Kvadratick funkce Obecn tvar funkce : y = a2x + a1x + a0 Popis grafu : parabola druhho stupn (kvadratick parabola), jej osa je rovnobاn s osou y. Koeficient a2 m tento vznam : a2 > 0 - parabola je oteven nahoru a2 < 0 - parabola je oteven dol Vrchol paraboly : -a1 (a1) V = ; - + a0  2a2 4a2  Zvltn ppady : y = a2x - parabola s vrcholem v potku souadnho systmu y = x + a0 - normln parabola s vrcholem V = [0 , a0] y = (x + b) - normln parabola s vrcholem V = [-b , 0] @LH 3 @LH 6 41. KOMBINATORIKA  Kombinatorika pat do binrn matematiky (jedn o konench mnoinch a jejich podmnoinch). Zkladn pojmy [a ; b] - uspodan dvojice ( [a;b] nen totono s [b;a] ! ) [a1; a2; a3; ... ; ak] - uspodan k-tice V uspodan k-tici zle na poed prvk (zmnou prvk dostaneme ji nou k-tici). VARIACE Variace k-t tdy n prvk jsou uspodan k-tice tvoen z mnoiny o n prv cch, v nich se kad prvek vyskytuje pouze jednou. Vk(n) - variace k-t tdy n prvk Poet variac k-t tdy n prvk : V1(n) = n V2(n) = n . (n - 1) V3(n) = n . (n - 1) . (n - 2) V4(n) = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) n! n Vk(n) = n . (n - 1) . (n - 2) . ........ . (n - k + 1) = = k! (n - k)! k PERMUTACE Permutace jsou variace n-t tdy n prvk : Vn(n) = P(n) = n . (n - 1) . (n - 2) . ..... . 3 . 2 . 1 = n! n initel Permutace se li pouze pestavnm prvk. Pklad :  Kolik rznch trikolor lze vytvoit ze t barev ? t = V3(3) = P(3) = 3 . 2 . 1 = 3! = 6 KOMBINACE  Kombinac k-t tdy n nazvme kadou podmnoinu o k prvcch z mnoiny o n prvcch. U kombinace bez opakovn nepihlme k uspodn prvk, pro toe kad prvek z danch n prvk se v jedn kombinaci me vyskytnout nej ve jednou. Poet vech kombinac k-t tdy z n prvk bez opakovn : (n k) n n(n - 1) ... (n - k + 1) n! Vk(n) Ck(n) = = = = k 1.2 ... k k!(n - k)! P(k) Pklad :  Kolik monost by bylo pi tahu Sportky, kdyby se poet sport rozil na 90 a poet taench sel zmenil na pt? n = 90, k = 5 90 C5(90) = = 43 949 268 5 VARIACE S OPAKOVNM Variace k-t tdy n prvk s opakovnm jsou uspodan k-tice tvoen z mnoiny o n prvcch, v nich se kad prvek me vyskytovat a k-krt. V'k(n) - variace k-t tdy n prvk s opakovnm Poet variac k-t tdy n prvk s opakovnm : V'k(n) = nk Pklad :  Kolik monost je pi vyplovn szenky o 12 utknch ? n = 3 (vtzstv, prohra, nerozhodn) k = 12 V'12(3) = 312 = 531441 @LH 3 @LH 6 42. UIT INTEGRLNHO POTU  Uritm integrlem spojit funkce f(x) v mezch od a do b nazvme prstek b  f(x) dx = F(b) - F(a) , a kter tak zapisujeme ve tvaru b  F(x) a kde F je primitivn funkce k funkci f na intervalu (a,b); tento interval na zvme integranm oborem a slo a nazvme doln (slo b horn) integra n mez. Vpoet uritho integrlu se takto pevd na uren primitivn funkce, do n se za promnnou dosad postupn horn a doln mez integrlu a vsledn hodnoty se (v uvedenm poad) odetou. Vlastnosti uritho integrlu  a  f(x) dx = F(a) - F(a) = 0 a  a b  f(x) dx = - f(x) dx b a  a < b < c : c b c  f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx a a b  Zkladn integran vzorce  xn+1  xn dx = + C n <> -1 n + 1 Ǎ x-1 dx = ln x + C Ǎ sin x dx = - cos x + C Ǎ cos x dx = sin x + C 1 dx = tg x + C cosx 1 dx = -cotg x + C sinx Ǎ ex dx = ex + C ax  ax dx = + C ln a Uit integrlnho potu v technice (pklady) Pklad 1 :  Urete prci, vykonanou expanz plynu z objemu V1 na objem V2, psob-li na plonou jednotku pstu o ploe S tlak p (jednotkov tlak).       celkov tlak na pst : F = S . p     dA = F . dx = S . p . dx     S . dx = dV => dA = p . dV   dx   Ĵ Ĵ V2  S /\ A = p . dV V1  p V1  _________________ Pklad 2 :  Urete tuto prci, jestlie zvislost tlaku na objemu je izotermick : k p . V = konst , p = V v2 v2  k v2 V2  = p dV = dV = k . lnV = k . ln V v1 V1  v1 v1 Pklad 3 :  urete tlak na hrz tvaru rovnoramennho lichobاnka o dlce jedn zkladny 40 m (v rovni hladiny), dlce druh zkladny 15 m (u dna) a vce ponoen sti 8 m. 12,5 |<>| | | 40 m \ | / \ | / \ | / 8 m \ | / \ / 15 m dF = r.z.h.dx ( z = g(h) ) 8 h 8x tg = = => h = 12,5 x 12,5 40 - z 8 . 40 - z 2 4 . (40 - z) x = => h = = 2 12,5 12,5 4 . (40 - z) 8  Fh = r . . h dh 12,5 0 @LH 3 @LH 6  43. HYPERBOLA  Obecn algebraick rovnice druhho stupn v x a y : F(x,y) = a11x + 2a12xy + a22y + 2a13x + 2a23y + a33 = 0 Koeficienty aik jsou reln sla. Touto rovnic lze vyjdit kadou kuelo seku (tj. krunici, elipsu, hyperbolu, parabolu, dvojici pmek a bod). Diskriminant kueloseky : a11 a12 a13  a21 a22 a23  a31 a32 a33  Diskriminant kvadratickch len : = a11 a12  a21 a22  Je-li  = 0 , je rovnic urena parabola, pi nenulov hodnot  je rovnic urena hyperbola nebo elipsa. Definice hyperboly :  Hyperbolou nazvme mnoinu prv tch bod M v rovin, kter maj od dvou pevnch bod E, F (ohniska) konstantn rozdl vzdlenost ME - MF = 2a, priem je 0 < 2a < 2e = EF. y M C A B E OS b F x a D e <> E,F - ohniska A,B - hlavn vrcholy C,D - vedlej vrcholy (imaginrn) S - sted hyperboly EM - FM = 2a - konstantn rozdl EM, FM - prvodie SA = SB = a - dlka reln poloosy AS, pop. SB 2a - dlka reln osy AB SC = SD = b - dlka imagirn poloosy SC, pop. SD 2b - dlka imaginrn osy CD EF = 2e e = (a + b) - dkov vstednost (excentricita) as - asymptoty (teny v nekonenu) Rovnice hyperboly v zkladn poloze SO , AB x , CD y x y - = 1 a b E = [-e ; 0] F = [e ; 0] M = [x ; y] Stedov rovnice hyperboly S = [m ; n] , AB x , CD y Pouijeme transformaci souadnic : (x-m) (y-n) - = 1 a b Rovnice hyperboly, kter m asymptoty toton s osami souadnho systmu : a xy = 2 Jestlie se velikost poloosy a rovn velikosti poloosy b, jedn se o rovnoosou hyperbolu. @LH 3 @LH 6 44. KOMBINACE Faktoril sla n  Faktorilem sla n nazvme funkci F na mnoin vech nezpornch ce lch sel, definovanou takto : F(0) = 1 F(n + 1) = (n + 1) F(n) (n N0) Msto F(n) peme n!. Plat 0! = 1. Pro n 1 je n! = 1 . 2 . ..... . (n - 1) . n Kombinace bez opakovn Definice :  Kombinac k-t tdy z n bez opakovn prvk nazvme kadou podmnoinu o k prvcch z mnoiny o n prvcch. U kombinace bez opakovn nepihlme k uspodn prvk, protoe kad prvek z danch n prvk se v jedn kombina ci me vyskytnout nejve jednou. Poet vech kombinac k-t tdy z n prvk bez opakovn : (n k) n n(n - 1) ... (n - k + 1) n! Vk(n) Ck(n) = = = = k 1.2 ... k k!(n - k)! P(k) Pklad :  Kolik monost by bylo pi tahu Sportky, kdyby se poet sport rozil na 90 a poet taench sel zmenil na pt? n = 90, k = 5 90 C5(90) = = 43 949 268 5 Kombinace s opakovnm Definice :  Kombinac k-t tdy z n-prvkov mnoiny M s opakovnm nazvme kadou skupinu o k prvcch vytvoenou z mnoiny M tak, e v tto skupin se kad prvek me vyskytovat a k-krt. Poet vech kombinac k-t tdy z n prvk s opakovnm : n + k - 1 (n + k - 1)! Ck(n) = = k k!(n -1)! Pklad :  Kolik kombiunac tet tdy s opakovnm lze vytvoit z pti slic 2, 3, 4, 5, 6 ? 5 + 3 - 1 7 7.6.5 C3(5) = = = = 35 3 3 1.2.3 Pascalv trojhelnk k uren kombinanch sel n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 n = 6 1 6 15 20 15 6 1 Prvn a posledn slo v kadm dku schmatu je vdy rovno 1. Kad slo uvnit schmatu se rovn soutu dvou nejblich sel z pedchozho n  dku. Kombinan slo je v tomto schmatu v (n + 1)-nm dku na k  (k + 1)-nm mst. Uit v binomick vt Pascalv trpjhelnk lze pout k odvozovn algebraickch vzorc, typu (a b)n : (a b)2 = a 2ab + b , odkud (a + b) = (a - b) + 4ab (a b)3 = a3  3a2b + 3ab b3  (a b)4 = a4  4a3b + 6a2b2  4ab3 + b4  (a b)5 = a5  5a4b + 10a3b2  10a2b3 + 5ab4  b5 Binomick vta pro kladn celoseln exponenty n : n n n n (a + b)n = an + an-1b + an-2b2 + an-3b3 + 0 1 2 3 n n + ... + abn-1 + bn  n - 1 n Pro (a - b)n plat pedchoz vzorec s tm rozdlem, e se u jednotlivch len stdaj znamnka (ponaje kladnm). @LH 3 @LH 6 45. ELIPSA  Obecn algebraick rovnice druhho stupn v x a y : F(x,y) = a11x + 2a12xy + a22y + 2a13x + 2a23y + a33 = 0 Koeficienty aik jsou reln sla. Touto rovnic lze vyjdit kadou kuelo seku (tj. krunici, elipsu, hyperbolu, parabolu, dvojici pmek a bod). Diskriminant kueloseky : a11 a12 a13  a21 a22 a23  a31 a32 a33  Diskriminant kvadratickch len : = a11 a12  a21 a22  Je-li  = 0 , je rovnic urena parabola, pi nenulov hodnot  je rovnic urena hyperbola nebo elipsa. Definice elipsy :  Elipsou nazvme mnoinu prv tch bod M v rovin, kter maj od dvou pevnch bod E, F (ohniska) konstantn souet vzdlenost ME + MF = 2a, priem je 2a > EF = 2e > 0. Z podmnky ME + MF = 2a plyne vlknov (nitkov) konstrukce elipsy. y C M[x,y] A E SO e F B x a b <> D E,F - ohniska A,B - hlavn vrholy C,D - vedlej vrcholy S - sted elipsy ME + MF = 2a - konstantn souet ME, MF - prvodie AB = 2a - dlka hlavn osy a - dlka hlavn poloosy CD = 2b - dlka vedlej osy b - dlka vedlej poloosy (b < a) EF = 2e e = (a - b) - dlkov vstednost (excentricita) Rovnice elipsy v zkladn poloze SO , AB x , CD y x y + = 1 a b E = [-e ; 0] F = [e ; 0] M = [x ; y] Stedov rovnice elipsy S = [m ; n] , AB x , CD y Pouijeme transformaci souadnic : (x-m) (y-n) + = 1 a b Jestlie se velikost poloosy a rovn velikosti poloosy b, dostaneme krunici (krunice je zvltnm ppadem elipsy). Dkaz :  x y x + y̍ + = 1 => = 1 / .a a a a x + y = a - stedov rovnice krunice @LH 3 @LH 6 46. ROVNICE S NEZNMOU V ODMOCNNCI  Nezporn slo b, pro nا plat bn = a , se nazv n-t odmocnina z sla a, a zna se na (msto a peme a). slo a se nazv zklad odmocniny (odmocnnec) a slo n se nazv odmocnitel. ( a,b R0+, n N ) Pro odmocniny plat ( a,b R0+, m,n N, k Z ) : Existuje prv jedno slo b, pro nا plat bn = a. Dle n0 = 0 n1 = 1 1a = a n(ab) = na . nb a na n˳ = (b <> 0) b nb (na)k = nak = ak/m (a <> 0) na . ma = nman+m  a + b = [a + b + 2(ab)] a - b = [a + b - 2(ab)] (a b) a + (a - b) a - (a - b) (a b) = ˳ ˳ (a b) 2 2 Protoe umocnn nen ekvivalentn prava rovnive, je u tchto rovnic zkouka sprvnosti soust een. @LH 3 @LH 6 47. VZJEMN POLOHA PMKY A KUELOSEKY @LH 3 @LH 6  48. PRAVDPODOBNOST Nhodn jev A je takov jev, kter me nastat za uritch podmnek, ale jeho vskyt nen jist. Pravdpodobnost, se kterou nastane jev A : p(A) 1) Pravdpodobnost nemonho jevu : p(A) = 0 2) Pravdpodobnost jistho jevu : p(A) = 1 Definice :  Kadmu jevu A, tj. kadmu monmu vsledku pokusu, je piazeno slo p = p(A), zvan pravdpodobnost jevu A, pro nا plat 0 p(A) 1 m Pravdpodobnost : p(A) = n m - poet ppad, v nich jev A natane (poet pznivch jev A) n - poet vech monch jev @LH 3 @LH 6 49. DERIVACE FUNKCE  Derivace funkce Definice :  Derivace funkce je limita podlu prstku funkce ku prstku promnn _x, kdy _x->0. Geometricky pedstavuje derivace funkce y = f(x) smrnici teny t grafu funkce y = f(x) v danm bodu x. f( x + _x ) - f(x) y' = lim _x->0 _x y y = f(x) B s t A _y Ĵ f(x) f(x+_x) 0 x _x x+_x x _y ks = tg = _x _y = f(x + _x) - f(x) _x . . . prstek promnn x _y . . . prstek funkce ks . . . smrnice seny AB Zkladn vzorce 1) y = c .............. y' = 0 2) y = xn ............. y' = n . xn-1 3) y = c . f(x) ....... y' = c . f'(x) 4) y = f(x) g(x) .... y' = f'(x) g'(x) 5) y = g(x) . g(x) .... y' = f'(x) . g(x) + f(x) . g'(x) 1 - g'(x) 6) y = ........... y' = g(x) [g(x)] f(x) f'(x) . g(x) - f(x) . g'(x) 7) y = ........... y' = g(x) [g(x)] 8) y = ax ............. y' = ax . ln a y = ex ............. y' = ex  y = e-x ............ y' = - ex 9) y = sin x .......... y' = cos x y = cos x .......... y' = - sin x 1 y = tg x ........... y' = cosx 1 y = cotg x ......... y' = - sinx 1 10) y = ln x .......... y' = x 1 11) y = loga x ........ y' = . ln a x 1 1 y = log x ......... y' = . ln 10 = . log e x x Derivace funkce sloen Sloen funkce - y = f[g(x)] Derivace funkce sloen je rovna souinu derivace funkce y podle pro mnn z a derivace funkce z podle promnn x (souin derivace vnj funkce a derivace vnitn funkce). y = f[g(x)] g(x) = z : y = f(z) vnj funkce vnitn funkce Geometrick vznam derivace Pomoc derivace lze analyzovat danou funkci (resp. jej graf). Lze urit interval, v nm je funkce vypukl (konvexn), vydut (konkvn), rostouc, klesajc, lze urit minimum a maximum (tzv. extrmy) a inflexn bod (pokud existuj). M-li funkce y = f(x) v bod x0 kladnou derivaci, je v bod x0 rostouc. M-li funkce y = f(x) v bod x0 zpornou derivaci, je v bod x0 klesajc. M-li funkce y = f(x) v bod x0 nulovou hodnotu, m v bod x0 extrm. Vypuklost (konvexnost) y = f(x) Pro hodnoty, v nich je graf vypukl : 1)  pechz z hodnot tupho hlu do hodnot ostrho hlu 2) tg je funkce rostouc : tg = k = f'(x) ..... f''(x) > 0 V bodech, v nich je graf funkce vypukl m druh derivace hodnotu kladnou. V bodu, v nm m graf vypukl funkce minimum m druh derivace hodnotu kladnou. Vydutost (konkvnost) y = f(x) Pro hodnoty, v nich je graf vydut : 1)  se zmenuje k nule a dle do zpornho hlu 2) tg je funkce klesajc : tg = k = f'(x) ..... f''(x) < 0 č V bodech, v nich je graf funkce vydut m druh derivace hodnotu zpornou. V bodu, v nm m graf vydut funkce minimum m druh derivace hodnotu z pornou. Inflexn bod y = f(x) V bodu I (inflexn bod) pechz graf z jedn strany teny ti (inflexn te na) na druhou stranu teny ti. V bodu inflexnm m druh derivace nulovou hodnotu ( f''(x) = 0 ). @LH 3 @LH 6 50. TROJHELNK  @LH 3 @LH 6 51. VZJEMN POLOHA PMKY A ROVINY  Parametrick rovnice pmky  -> Pmka je dna bodem A = [x1;y1;z1] a smrovm vektorem s (s1;s2;s3): x = x1 + ts1  y = y1 + ts2 t - parametr z = z1 + ts3 Obecn rovnice pmky v prostoru neexistuje (rovnic Ax + By + Cz + d = 0 je urena rovina). Obecn rovnice roviny - Ax + By + Cz + d = 0 - normlov vektor - n = (A;B;C) Odchylka dvou rznobاnch vektor Ze vzorc pro skalrn souin vektor odvodme vztah u1v1 + u2v2  cov =  , u.v kde je hel, kter vektory svraj. Vzjemnou polohu pmky a roviny zjistme z een soustavy jejich rovnic. Mohou nastat tyto ti ppady : 1) Nekonen mnoho een - pmka le v rovin 2) Jedno een - pmka protn rovinu v prseku P, jeho souadnice jsou eenm soustavy. 3) Soustava nem een - pmka je rovnobاn s rovinou; jej vzdle nost od roviny se vypot podle vzorce ax0 + by0 + cz0 + d v = (a + b + c) Odchylka pmky od roviny Odchylka (0 90) pmky p se smrovm vektorem u = (u1; u2; u3) a roviny s normlovm vektorem v = (v1; v2; v3) se vypot podle vzorce u1v1 + u2v2 + u3v3 sin = (u1 + u2 + u3) . (v1 + v2 + v3) @LH 3 @LH 6 52. VZJEMN POLOHA DVOU PMEK  Pmka je prsenic dvou rovin. Zna se malmi latinskmi psmeny (a, b, p, g, ...). Jsou-li A, B dva rzn body pmky, pak se tato pmka zna " pmka AB ".  Parametrick rovnice pmky  -> Pmka je dna bodem A = [x1;y1] a smrovm vektorem s (s1;s2): ->  p = ( A ; s ) Bod X m souadnice [x;y]. Rovnice pmky je vztah, kter plat pro souad nice kadho bodu X pmky p : x = x1 + ts1 t - parametr y = y1 + ts2 Parametrick rovnice pmky v prostoru x = x1 + ts1  y = y1 + ts2  z = z1 + ts3  Obecn rovnice pmky  A x + B y + C = 0 - Pmka je dna linern rovnic o dvou promnnch Obecn rovnice pmky v prostoru neexistuje (rovnic Ax + By + Cz + d = 0 je urena rovina). Dv pmky vi sob mohou bt - mimobاn - rznobاn - rovnobاn - rovnobاn splvajc (toton) Vzlemnou polohu dvou pmek urme z vsledku een soustavy jejich obecnch rovnic (pokud jsou zadny jinak, pevedeme jejich rovice na obecn tvar). Mohou nastat ti ppady: 1. nekonen mnoho een - pmnky jsou rovnobاn splvajc (existuje ne konen mnoho bod, kter le na obou pmkch) 2. jedno een - pmky jsou rznobاn (existuje prv jeden bod, kter le na obou pmkch - prsek P. Jeho souadnice jsou eenm soustavy rovnic pmek) 3. soustava nem een - pmky jsou rovnobاn (v rovin) nebo mimobاn (v prostoru) hel dvou pmek  hel dvou pmek v rovin je ostr hel, kter pmky svraj. Urme jej jako hel normlovch nebo smrovch vektor. Jestlie r je smrov vek tor pmky k a s je smrov vektor pmky l a pmky k a l jsou rznobاky, pak hel , kter svraj, vypoteme ze vzorce r1s1 + r2s2  cos =  r.s Vzdlenost rovnobاek  Vzdlenost v dvou rovnobاnch pmek p, q je rovna vzdlenosti libovolnho bodu A jedn pmky od druh pmky, a vypot se podle vzorce: ax0 + by0 + c v = ' (a + b) kde M = [x0,y0] p , q : ax + by + c = 0 @LH 3 @LH 6 53. OBJEM A POVRCH TLES @LH 3 @LH 6  54.LOGARITMICK ROVNICE Definice logaritmu :  Logaritmus kladnho sla x je mocnitel y, na kter musme umocnit zvo len zklad a, abychom dostali dan kladn slo x. Logaritmickou rovnic nazvme takovou rovnici, kde se promnn x vys kytuje v logaritmickm vrazu (je logaritmovna). Obecn lze logaritmick rovnice eit jen graficky nebo piblinmi numerickmi metodami. Jen v nk terch jednoduchch zvltnch ppadech lze tyto rovnice pevst vhodnou substituc na algebraick rovnice. Zkladn logaritmick rovnice : logax = b (a>0 , a<>1) Plat-li b = logac, pak logax = logac - x = c, jinak je x = ab. Vyskytuje-li se promnn x nebo mnoholen P jen jako argument logarit mu, lze logaritmickou rovnici pevst na algebraickou v tchto ppadech : a) Rovnice obsahuje koeny tho argumentu. Takov rovnice se e tak, e logaritmus tohoto argumentu povaujeme za novou neznmou y, najdeme koe ny nov rovnice a umocnnm zkladu logaritmu tmito kopeny dostaneme koeny dan rovnice. b) Logaritmick rovnice tvaru c1 loga P1(x) + c2 loga P2(x) + ... + cn loga Pn(x) = 0, kde P1, P2, ..., Pn jsou mnoholeny v promnn x, se na algebraickou rovnici pevede odlogaritmovnm. V tomto ppad je teba se vdy pesvdit, zda pro nalezen koeny m pvodn rovnice smysl a zda j tyto koeny vyhovuj. Logariotmick funkce Obecn tvar funkce : y = logax (x > 0 , a > 0 , a <> 1) Graf logaritmick funkce : (vdy prochz bodem [1;0], protoe loga 1 = 0) y 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x -1 -2 -3 -4 Funkce logaritmick a exponenciln jsou vzjemn inverzn. @LH 3 @LH 6 55. GEOMETRICK POSLOUPNOST - UIT @LH 3 @LH 6 56. VZDLENNOST BODU OD PMKY, OD ROVINY  Vzdlenost bodu od pmky Je dna pmka p : ax + by + c = 0 a bod M = [x0;y0], kter na n nele. @LH 3 @LH 6 57. OBJEM A POVRCH KOULE @LH 3 @LH 6  58. MOCNINY S RACIONLNM MOCNITETLEM @LH 3 @LH 6  59. SHODN ZOBRAZEN  Zkladn pojmy Uspodan dvojice - takov dvojice prvk, kde zle na poad prvk Kartzsk souin mnoin A,B - mnoina vech uspodanch dvojic [x,y], kde x je prvkem mnoiny A, y je prvkem mnoiny B Zapisujeme : A x B Zobrazen :  Zobrazn z mnoiny A do mnoiny B je pedpis, kter kadmu prvku x z mnoiny A piazuje prv jeden (ne vce !) prvek y z mnoiny B. Zobrazen prost - takov zobrazen, kde kad obraz m nejve jeden vzor Vzjemn jednoznan zobrazen - prost zobraen mnoiny A na mnoinu B. (kadmu vzoru jeden odraz, kadmu obra zu jeden vzor). A i B maj stejn poet prvk. Shodn zobrazen  Shodn zobrazen (shodnost) je takov zobrazen, kter kadm dvma prvkm A, B piazuje obrazy A',B' tak, e plat AB = A'B'. Samodrun body - takov body, kter jsou danm zobrazenm piazeny samy sob (A A'). Shodn zobrazen v rovin : - osov soumrnost - stedov soumrnost - oten - posunut - totonost 1. Osov soumrnost  Je dna osou soumrnost Pedpis : Ŀ A'P = AP A'A Samodrun body : kad bod osy soumrnosti Samodrun pmky : osa soumrnosti a kad pmka k n kolm Sob odpovdajc si pmky v osov soumrnosti (vzor a obraz) se protnaj na ose soumrnosti. 2. Stedov soumrnost  Je dna stedem soumrnosti S Pedpis : Ŀ S,A,A' - le v pmce A'S = AS Samodrun body : pouze sted soumrnoti Samodrun pmky : kad pmka prochzejc stedem soumrnosti 3. Oten (rotace)  Je dno stedem oten S a hlem oten Pedpis : Ŀ SA' = SA ASA' = 4. Posunut (translace)  ->  Je dno vektorem v Pedpis : Ŀ AA' = v AA' v Samodrun body : je-li vektor posunut nenulov, neexistuj; je-li vektor posunut nulov, je samodrun kad bod Samodrun pmky : je-li vektor posunut nenulov, je samodrun kad pmka s nm rovnobاn; je-li vektor posunut nulov, je samodrun kad pmka 5. Totonost (identita)  Pro obraz X' kadho bodu X plat : X' X. Samodrun body : kad bod je samodrun Samodrun pmky : kad pmka je samodrun @LH 3 @LH 6 60. VARIACE, PERMUTACE  VARIACE Variace k-t tdy n prvk jsou uspodan k-tice tvoen z mnoiny o n prv cch, v nich se kad prvek vyskytuje pouze jednou. Vk(n) - variace k-t tdy n prvk Poet variac k-t tdy n prvk : V1(n) = n V2(n) = n . (n - 1) V3(n) = n . (n - 1) . (n - 2) V4(n) = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) n! n Vk(n) = n . (n - 1) . (n - 2) . ........ . (n - k + 1) = = k! (n - k)! k PERMUTACE Permutace jsou variace n-t tdy n prvk : Vn(n) = P(n) = n . (n - 1) . (n - 2) . ..... . 3 . 2 . 1 = n! n initel Permutace se li pouze pestavnm prvk. Pklad :  Kolik rznch trikolor lze vytvoit ze t barev ? t = V3(3) = P(3) = 3 . 2 . 1 = 3! = 6 Faktoril sla n  Faktorilem sla n nazvme funkci F na mnoin vech nezpornch celch sel, definovanou takto : F(0) = 1 F(n + 1) = (n + 1) F(n) (n N0) Msto F(n) peme n!. Plat 0! = 1. Pro n 1 je n! = 1 . 2 . ..... . (n - 1) . n VARIACE S OPAKOVNM Variace k-t tdy n prvk s opakovnm jsou uspodan k-tice tvoen z mnoiny o n prvcch, v nich se kad prvek me vyskytovat a k-krt. V'k(n) - variace k-t tdy n prvk s opakovnm Poet variac k-t tdy n prvk s opakovnm : V'k(n) = nk Pklad :  Kolik monost je pi vyplovn szenky o 12 utknch ? n = 3 (vtzstv, prohra, nerozhodn) k = 12 V'12(3) = 312 = 531441