@CT 1
@LM 1
@RM 70
@PL 60
@TB -----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T-----T
@MT 0
@MB 0
@PO 5
@PN 1
@OP
@LH 6
1. FUNKCE
Definice :
Mnoina M je podmnoinou mnoiny R. Funkce f je mnoina uspodanch
dvojic [x;y], pro kter plat : kadmu x M je piazeno prv jedno
y R (ne vce !).
Promnn x se nazv nezvisle promnn [argument] a promnn y se na
zv zvisle promnn. slo y R se pro urit x R (pro nا plat
[x;y] f) nazv funkn hodnota funkce f a oznauje se f(x).
Jinak : Funkce je kad zobrazen v mnoin R.
Graf funkce y = f(x) je mnoina vech bod o souadnicch [x;f(x)], kde
x D(f).
Definin obor funkce f je mnoina D, kter m tu vlastnost, e ke ka
dmu slu x D je piazeno prv jedno takov slo y, aby platilo
[x;y] f. Definin obor funkce zname D(f).
Obor hodnot funkce f je mnoina H, kter m tu vlastnost, e ke kadmu
slu y H existuje takov slo x D, aby platilo [x;y] f. Obor hodnot
funkce zname H(f).
Funkce rostouc
Funkce f(x) je rostouc v intervalu , jestlie pro kad dv hodnoty
x1 < x2 z intervalu plat, e f(x1) < f(x2).
y
.
.
f(x) .
.
. f(x2)
. f(x1)
a x1 x2 0 b x
Funkce klesajc
Funkce f(x) je klesajc v intervalu , jestlie pro kad dv hodnoty
x1 < x2 z intervalu plat, e f(x1) > f(x2).
. y
.
.
.
.
f(x2) .
f(x1) .
a x1 x2 0 b x
Sud funkce
Funkce y = f(x) se nazv sud, prv kdy definin obor D funkce f je
soumrn podle potku souadnho systmu (tj. s kadm bodem x D pat do
oboru D tak bod -x), a pro kad x D plat f(-x) = f(x). Graf sud funkce
je soumrn podle osy y.
Lich funkce
Funkce y = f(x) se nazv lich, prv kdy definin obor D funkce
f je soumrn podle potku souadnho systmu (tj. s kadm bodem x D
pat do oboru D tak bod -x), a pro kad x D plat f(-x) = -f(x). Graf
lich funkce je soumrn podle potku souadnho systmu.
@LH 3
@LH 6
3.EXPONENCILN FUNKCE
Exponenciln rovnic nazvme takovou rovnici, kde se promnn x vys
kytuje v exponentu. Obecn lze exponenciln rovnice eit jen graficky nebo
piblinmi numerickmi metodami. Jen v nkterch jednoduchch zvltnch
ppadech lze tyto rovnice pevst na algebraick rovnice.
Exponenciln funkce
Obecn tvar funkce : y = ax (a > 0)
Graf exponenciln funkce : (vdy prochz bodem [0;1], protoe a0 = 1)
y
9
8
7
6
5
4
3
2
y=1x
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
Definin obor : D(f) = R
Obor hodnot : H(f) = R+\{0} (vechna kladn reln sla)
een exponenciln rovnice
ax = b (a>0 , a<>1 , b>0)
lze eit :
a) bez logaritmovn, jestlie lze leny rovnice vyjdit jako mocniny
tho zkladu :
b
cax = cb - x =
a
b) logaritmovnm :
lg b
x = logab, pop. x lg a = lg b - x =
lg a
Pklad 1 : Pklad 2 :
3ax+2 = ax-5 2x = 7
a(x+2)/3 = a(x-5)/2 x log 2 = log 7
x + 2 x - 5 log 7
= x =
3 2 log 2
2x + 4 = 3x - 15
x = 19
@LH 3
@LH 6
3.Goniometrick funkce
Goniometrick funkce je spoleensk nzev pro funkce sinus (symbol sin),
kosinus (symbol cos), tangens (symbol tg) a kotangens (symbol cotg).
Jednotkov krunice
y /2
II. 1 I.
0 < < /2
/2 < <
M N
yM yM
-1 xM 0 xN 1 x
III. -1 IV.
3/2
M [xM,yM]
Ŀ Ŀ
sin = yM I. II. III . IV.
cos = xM Ĵ
sin + + - -
sin Ĵ
tg = , cos <> 0 cos + - - +
cos Ĵ
tg + - + -
cos Ĵ
cotg = , sin <> 0 cotg + - + -
sin
Grafy funkc
------------------------------
------------------------------
SINUS
------------------------------
------------------------------
KOSINUS TANGENS KOTANGENS
Ŀ
0 30 45 60 90
Ĵ
sin 0 /2 3/2 1
Ĵ
cos 1 3/2 /2 0
Ĵ
tg 0 3/3 1 3 -
Ĵ
cotg - 3 1 3/3 0
Ŀ
0 /2 3/2 2
Ĵ
sin 0 1 0 -1 0
Ĵ
cos 1 0 -1 0 1
Ĵ
tg 0 - 0 - 0
Ĵ
cotg - 0 - 0 -
Periodinost goniometrickch funkc
sin ( + k.2) = sin Ŀ
cos ( + k.2) = cos
k Z
tg ( + k.) = tg
cotg ( + k.) = cotg ٍ
Hodhoty sinu a kosinu se opakuj po 2, hodnoty tangenty a kotangenty po .
Vztahy mezi goniometrickmi funkcemi stejnho argumentu
sin + cos = 1 tg . cotg = 1
sin 1
tg = 1 + tg =
cos cos
cos 1
cotg = 1 + cotg =
sin sin
Vztahy mezi goniometrickmi funkcemi doplkovch hl
sin = cos (90 - )
cos = sin (90 - )
tg = cotg (90 - )
cotg = tg (90 - )
Zkladn goniometrick vzorce
Soutov vty:
sin ( ) = sin cos cos sin
cos ( ) = cos cos sin sin
tg tg
tg ( ) =
1 + tg tg
Goniometrick funkce nsobnho hlu:
sin 2 = 2 sin cos
cos 2 = cos - sin
2 . tg
tg 2 =
1 - tg
Goniometrick funkce polovinho hlu:
1 - cos
sin = ˳
2 2
1 + cos
cos = ˳
2 2
1 - cos
tg = ˳
2 1 + cos
Pevod soutu a rozdlu sin a kosin na souin:
+ -
sin + sin = 2 . sin . cos
2 2
+ -
sin - sin = 2 . cos . sin č
2 2
+ -
cos + cos = 2 . cos . cos
2 2
+ -
cos - cos = 2 . sin . sin
2 2
@LH 3
@LH 6
4 . Aritmetick posloupnost
@LH 3
@LH 6
Definice :
Posloupnost nekonen je funkce, jejm defininm oborem jsou vechna pi
rozen sla (bez omezen). n N
Posloupnost konen je funkce, jejm defininm oborem jsou pirozen sla
men ne n0. n < n0 N
Aritmetickou posloupnost nultho du nazvme konstantn posloupnost
(d = 0). slo d se nazv diference aritmetick posloupnosti [an].
Zpis posloupnosti
(-1)n
nekonen posloupnost zapsan n-tm lenem
n n=1
n n0
konen posloupnost
n + 1 n=1
Obecn :
an
index lene
n-t len
Grafick znzornn posloupnosti
n + 1 3 4 5 6
..... 2 ; ; ; ; ; .....
n n=1 2 3 4 5
an
2 . . . x Grafem jsou izolovan body
.
. . . . . . . x
. .
. . . . . . . . . . . x
. . . . . . . . . . . . . . ..x
1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
0 1 2 3 4 5 n
Rekurentn zadn aritmetick posloupnosti
Aritmetick posloupnost je zadna rekurentn, jestlie je zadno nko
lik prvnch len a pedpis, jak tvoit leny dal.
Pklad :
Posloupnost je zadna : a1 = 1 ; a2 = 2 an+2 = an+1 + an
pedpis
pro : n = 1 : a3 = a2 + a1 = 2 + 1 = 3
n = 2 : a4 = a3 + a2 = 3 + 2 = 5
n = 3 : a5 = a4 + a3 = 5 + 3 = 8
n = 4 : a6 = a5 + a4 = 8 + 5 = 13
.
.
.
Posloupnost rostouc a klesajc
Rostouc : an+1 > an nap. 3, 7, 11, 15, ...
3 4 5
Klesajc : an+1 < an nap. 2, , , ...
2 3 4
Pro souet prvnch n len aritmetick posloupnosti plat :
a1 + an
sn = a1 + a2 + ... + an = n
2
Pro n-t len aritmetick posloupnosti plat :
an = ak + (n - k) d pro vechna n,k N
@LH 3
@LH 6
5.Limita funkce
Abychom mohli definovat limitu, zavedeme nejprve pojem okol bodu.
a - a a +
Interval ( a - ; a + ) je oteven okol bodu a.
Interval < a - ; a + > je uzaven okol bodu a.
okol bodu a
Definice limity :
Funkce f(x) m v bodu x = a limitu A, jestlie pro kad libovoln؍
zvolen > 0 existuje > 0 takov, e pro x z okol bodu a je
hodnota funkce f(x) v okol A.
lim f(x) = A
x->a
nazvme
V bodech, v nich je funkce definovna, je limita rovna funkn
hodnota vypoteme ji pmo dosazenm.
y
y = f(x)
Ŀ
AĿ
Ŀ
0 a- a a+ x
Vty o limit
1) Konstantn funkce : y = c
lim c = c
x->a
2) lim c f(x) = c . lim f(x)
x->a x->a
3) lim [ f(x) g(x) ] = lim f(x) lim g(x)
x->a x->a x->a
4) lim [ f(x) . g(x) ] = lim f(x) . lim g(x)
x->a x->a x->a
lim f(x)
f(x) x->a
5) lim = lim g(x) <> 0
x->a g(x) lim g(x) x->a
x->a
6) Jestlie f(x) = g(x) , pak lim f(x) = lim g(x)
x->a x->a
Nevlastn limita funkce
kme, e funkce y = f(x) m v bod a nevlastn limitu + resp . , prv؍
kdy ke kadmu slu K existuje takov slo > 0, e provechny x, pro
nا je 0 < x - a < , plat f(x) > K, resp. f(x) < K.
lim f(x) = + resp. lim f(x) = -
x->a x->a
Pklad : 1
lim = D(f) = R\{3}
x->3 x - 3
limita nevlastn
x 3,1 3,01 3.001 . . . 2,999 2,99 2,9
y 10 100 1000 . . . -1000 -100 -10
Limita funkce v nevlastnm bod
kme, e funkce y = f(x) m v nevlastnm bod + , resp. - limituA,
prv kdy ke kadmu slu > 0 existuje takov bod c, e pro
vechnybody x > c, resp. x < c plat f(x) - A < .
lim f(x) = A resp. lim f(x) = A
x-> x->
Derivace funkce
Definice :
Derivace funkce je limita podlu prstku funkce ku prstku promnn_x,
kdy _x->0. Geometricky pedstavuje derivace funkce y = f(x)
smrniciteny t grafu funkce y = f(x) v danm bodu x.
f( x + _x ) - f(x)
y' = lim
_x->0 _x
y
y = f(x)
B s
t
A _y
Ĵ
f(x) f(x+_x)
0 x _x x+_x x _y
ks = tg =
_x
_y = f(x + _x) - f(x) _x . . . prstek promnn x
_y . . . prstek funkce
@LH 3
ks . . . smrnice seny AB
@LH 6
6.MOIVROVA VTA
slo komplexn je slo sloen z sti reln a sti ryze imaginrn.
Pro komplexn slo z = [a,b] se zavdj tyto pojmy:
a = Re z - reln st komplexnho sla z
_ b = Im z - imaginrn st komplexnho sla z
z = [a,-b] - slo komplexn sdruen k slu z
z = (a + b) - absolutn hodnota (modul) komplexnho sla z
Goniometrick tvar komplexnho sla
a = a1 + a2i - soutov (algebraick) tvar
a = (a1 + a2) - velikost komplexho sla a (absolutn hodnota)
y
A(a)
a
a2
0 x
- argument komplexnho sla - je to orientovan hel s potenm
ramenem +x a koncovm ramenem a (orientovan hel je hel, kter m
ureno poten a koncov rameno.
Komplexn slo a = a1 + a2i vyjden pomoc argumentu a absolutn
hodnoty a:
a1
cos = - a1 = a . cos
a
a2
sin = - a2 = a . sin
a
a = a1 + a2i
a = a . cos + ia . sin
a = a . (cos + i sin ) - komplexn slo v goniometrickm
tvaru
( a = 0 ) ...... a0 = cos + i sin - komplexn jednotka v gonio
metrickm tvaru
Nsoben komplexnch sel v goniometrickm tvaru
a = a.(cos + i sin )
b = b.(cos + i sin )
a . b = a.(cos + i sin ).b.(cos + i sin ) =
= a.b.(cos cos + i cos sin + i sin cos + i sin sin ) =
= a.b.[cos cos - sin sin + i(sin cos + sin cos )] =
= a.b.[cos( + ) + i sin( + )]
Absolutn hodnota souinu dvou komplexnch sel je rovna souinu abso
lutnch hodnot jednotlivch initel. Argument souinu dvou komplexnch
sel je roven souinu argument jednotlivch initel.
Pro komplexn jednotky
a0 = cos + i sin
b0 = cos + i sin
a0 b0 = cos( + ) + i sin( + )
Souin komplexnch jednotek je opt komplexn jednotka, kter m argu
ment rovn soutu jednotlivch initel.
Mocnina komplexnho sla v goniometrickm tvaru
a = a.(cos + i sin )
a = a.(cos 2 + i sin 2)
an = an.(cos n + i sin n)
Moivrova vta:
a = 1 ...... a0 = cos + i sin
Ŀ
a0n = (cos + i sin )n = cos n + i sin n
Umocnme-li komplexn jednotku na n-tou, pak vsledkem je opt komplex
n jednotka s argumentem n.
@LH 3
@LH 6
7.GRAFY GONIOMETRICKCH FUNKC
Goniometrick funkce je spoleensk nzev pro funkce sinus (symbol
sin), kosinus (symbol cos), tangens (symbol tg) a kotangens (symbol cotg).
Jednotkov krunice
y /2
II. 1 I.
0 < < /2
/2 < <
M N
yM yM
-1 xM 0 xN 1 x
III. -1 IV.
3/2
Vztahy mezi goniometrickmi funkcemi stejnho argumentu
sin + cos = 1 tg . cotg = 1
sin 1
tg = 1 + tg =
cos cos
cos 1
cotg = 1 + cotg =
sin sin
Sestrojen zkladn sinusoidy y = sin x
y
-------------------------------------------------------
------------------------------------------------------
------------------------------------------------------x
-------------------------------------------------------
napmen hel
Vznam konstant sinusoidy y = A . sin (bx + c)
A - amplituda sinusovky (pm mrnost)
b - frekvence sinusovky (nepm mrnost)
c - fzov posun
Grafy goniometrickch funkc, definin obor, obor hodnot
f1 = { [x,y] ; y = sin x, xR, y<-1,1> } ................... (sinusoida)
f2 = { [x,y] ; y = cos x, xR, y<-1,1> } ................. (kosinusoida)
f3 = { [x,y] ; y = tg x, xR \ {(2k + 1). }, yR } ...... (tangentoida)
f4 = { [x,y] ; y = cotg x, xR \ { k }, yR } .......... (kotangentoida)
------------------------ ------------------------------
------------------------
------------------------------
@LH 3
@LH 6
8. ANALYTICK VYJDEN PMKY
Pmka je prsenic dvou rovin. Zna se malmi latinskmi psmeny (a,
b, p, g, ...). Jsou-li A, B dva rzn body pmky, pak se tato pmka zna
" Pmka AB ".
Parametrick rovnice pmky
.
y .
\
-> . X = [x,y]
s .
A .
\ .
. .
. . ->
. y1 . s - smrov vektor
.
.
0 x1 x
Smrov vektor pmky je kad vektor rovnobاn s touto pmkou.
->
Pmka je dna bodem A = [x1;y1] a smrovm vektorem s (s1;s2) :
->
p = ( A ; s )
Bod X m souadnice [x;y]. Rovnice pmky je vztah, kter plat pro souad
nice kadho bodu X pmky p :
x = x1 + ts1 t - parametr
y = y1 + ts2
Parametrick rovnice pmky v prostoru
x = x1 + ts1
y = y1 + ts2 t - parametr
z = z1 + ts3
Smrnicov tvar rovnice pmky
y .
.
.
.
. y = kx + q
.
.
.
.
.
. q
.
. 0 x
k = tg je tzv. smrnice pmky, piem je orientovan hel, jeho
vrchol je v potku souadnho systmu, jedno rameno tvo
osa x a druh rameno je rovnobاn s danou pmkou libovoln؍
orientovanou.
q - tzv. sek vyat pmkou na ose y (y-ov souanice prseku
pmky s osou y).
k > 0 - pmka je grafem rostouc funkce y = kx + q
k = 0 - pmka je rovnobاn s osou x
k < 0 - pmka je grafem klesajc funkce y = kx + q
q = 0 - pmka prochz potkem
Obecn rovnice pmky
->
Odvozen : p (A = [x1;y1], s (s1;s2)]
p : x = x1 + ts1 / .s2
y = y1 + ts2 / .(-s1)
x . s2 = x1s2 + ts1s2 +
-y . s1 = -s1y1 - ts1s2
xs2 - ys1 = x1s2 - y1s1
s2x - s1y + y1s1 - x1s2 = 0
A B C
A x + B y + C = 0 - Pmka je dna linern rovnic o dvou
promnnch
A = s1 B = -s2 -> s2 = -B
->
Smrov vektor pmky : s = (-B ; A)
->
Vektor n = (A ; B) nazvme normlov vektor pmky (protoe je k n kolm).
Dkaz :
Pomoc skalrnho souinu vektor :
-> -> -> -> -> ->
s . n = -B . A + A . B = 0 -> n s -> n p
kde a,b,c jsou konstanty, piem konstanty a,b <> 0.
Peveden obecn rovnice pmky na smrnicov tvar
a c a c
y = - x - (b <> 0), k = - , q = -
b b b b
Obecn rovnice pmky v prostoru neexistuje.
@LH 3
@LH 6
9. NEPM MRNOST A MOCNINN Fce.
Kad funkce, dan rovnic
k
y = , k R \ {0}
x
kde k je libovoln reln slo rzn od nuly, se nazv nepm mrnost.
k > 0 k < 0
Definin obor i obor hodnot jsou prvky R \ {0}.
Grafem nepm mrnosti je rovnoos hyperbola.
@LH 3
@LH 6
10.KVADRATICK NEROVNICE
Nerovnice jsou zpisy tvaru :
e(x) > p(x)
e(x) < p(x)
e(x) p(x)
e(x) p(x)
Dovolen pravy nerovnic jsou obdobn jako pravy rovnic, a na vyjmky :
1) Nsobme-li ob strany nerovnice zpornm slem, obrt se znak
nerovnice.
Pklad : 2 < 5 / . (-1)
-2 > -5
2) Pejdeme-li na obou stranch nerovnice k pevrcenm hodnotm,
obrt se znak nerovnice.
Pklad : 2 < 4
>
Kvadratick nerovnice jsou zpisy tvaru :
ax + bx + c > 0
ax + bx + c 0
ax + bx + c < 0
ax + bx + c 0
Kvadratick nerovnice se e rozkladem kvadratickho trojlenu na souin :
ax + bx + c = a . (x - x1) . (x - x2)
Pklad :
ete v oboru R :
x - 2x - 15 > 0
x - 2x - 15 - rozlome na souin : x - 2x - 15 = 0
x1 = 5, x2 = -3
x - 2x - 15 = (x - 5) . (x + 3)
(x - 5) . (x + 3) > 0
(x > 5 x < -3) (x < 5 x > -3)
P1 = P2 = (-3;5)
P = ( -3 ; 5 )
Grafick een kvadratick nerovnive
Je dna nerovnice ax + bx + c N 0 , kde N je znak nerovnosti.
Nakreslme graf funkce f: y = ax + bx + c, a z prsek, pp. prseku
grafu funkce (paraboly) urme een dan nerovnice.
@LH 3
@LH 6
11.EEN PRAVOHLHO TROJHELNKU
eit pravohl trojhelnk znamen urit na zklad danch prvk prvky
ostatn.
C
b a
vc
c2 c1
A B
D c
a,b - dlky odvsen
= 90 = rad - velikost hlu proti pepon
c - dlka pepony
vc - dlka vky k pepon
Pythagorova vta
a + b = c
Slovy : Obsah tverce sestrojenho nad peponou se rovn soutu obsah
tverc, sestrojench nad obma odvsnami.
Euklidova vta o odvsn
a = c . ca b = c . cb
Euklidova vta o vce
(vc) = ca . cb
Goniometrick funkce je spoleensk nzev pro funkce sinus (symbol
sin), kosinus (symbol cos), tangens (symbol tg) a kotangens (symbol cotg).
V pravohlm trojhelnku plat tyto vztahy:
protilehl odvsna pilehl odvsna
sin = cos =
pepona pepona
protilehl odvsna pilehl odvsna
tg = cotg =
pilehl odvsna protilehl odvsna
Urenost pravohlho trojhelnka
Pravohl trojhelnk je uren, jsou-li dny alespo :
- ob odvsny
- pepona a jedna odvsna
- pepona a hel k n pilehl
EEN PRAKTICKCH LOH
Pklad 2: Schodit s padesti schody m vku 9 m a sklon 24.
Vypotte vku v a ku s jednoho schodu.
_ ABC :
9
v = = 0,18
50
v 0,18
s = = = 0,4
sin 0,45
Jeden schod je 40 cm irok a 18 cm vysok.
Pklad 1: Urete namhn na tlak a tah u nosnk podle obrzku.
G = 1800 N
= 52
F1 = ?
F2 = ?
_ MPN :
G G
sin = .......... F2 =
F2 sin
G G
tg = .......... F1 =
F1 tg
F1 = 1406,31 N
F2 = 2284,23 N
@LH 3
@LH 6
12. PRAVA ALGEBRAICKCH VRAZ
Zkladn algebraick vzorce
(a + b) . (a - b) = a - b - rozdl tverc
(a + b) = a + 2ab + b
(a - b) = a - 2ab + b
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + a3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - a3
Usmrovn zlomk
Usmrnit zlomek znamen odstranit odmocninu nebo odmocniny ze jmnenovatele
vhodnm rozenm zlomku.
Pklad :
1 / .(4 - 8) 4 - 8 4 - 8 4 - 8
= = =
4 + 8 / .(4 - 8) (4 + 8) . (4 - 8) 4 - 8 8
@LH 3
13.EXPONENCILN A LOGARITMICK Fce.
@LH 6
INVERZN FUNKCE
Definice funkce
Mnoina M je podmnoinou mnoiny R. Funkce f je mnoina uspodanch
dvojic [x;y], pro kter plat : kadmu x M je piazeno prv jedno
y R (ne vce !).
Promnn x se nazv nezvisle promnn [argument] a promnn y se na
zv zvisle promnn. slo y R se pro urit x R (pro nا plat
[x;y] f) nazv funkn hodnota funkce f a oznauje se f(x).
Jinak : Funkce je kad zobrazen v mnoin R.
Grag funkce y = f(x) je mnoina vech bod o souadnicch [x;f(x)], kde
x D(f).
Definin obor funkce f je mnoina D, kter m tu vlastnost, e ke kadmu
slu x D je piazeno prv jedno takov slo y, aby platilo [x;y] f.
Definin obor funkce zname D(f).
Obor hodnot funkce f je mnoina H, kter m tu vlastnost, e ke kadmu s
lu y H existuje takov slo x D, aby platilo [x;y] f. Obor hodnot
funkce zname H(f).
Funkce prost
Funkce y = f(x) s defininm oborem D se nazv prost, jestlie pro
kad dv sla x1, x2 D (x1 <> x2) plat f(x1) <> f(x2).
Funkce inverzn
Jestlie funkce y = f(x) je prost na intervalu D a jejm obrem hodnot
je mnoina H, lze na mnoin H definovat takovou funkci, kter kadmu
y H piazuje prv jedno slo x D, pro kter plat f(x) = y. Tato fun
kce se nazv funkce inverzn k funkci f a zna se f-1. Funkce f a f-1 se
pak nazvaj vzjemn inverzn.
Defininm oborem funkce f-1 je obor hodnot funkce f, a oborem hodnot
funkce f-1 je definin obor funkce f. Grafy funkc f a f-1 jsou soumrn
podle osy prvnho a tetho kvadrantu.
Jestlie funkce f je dna v analytickm tvaru y = f(x), pak analytick
tvar inverzn funkce dostaneme tak, e v analytickm tvaru funkce f vude
msto x peme y a msto y peme x a v takto zskanm vyjden osamostast
nme y.
Exponenciln funkce
Obecn tvar funkce : y = ax (a > 0)
Graf exponenciln funkce : (vdy prochz bodem [0;1], protoe a0 = 1)
y
9
8
7
6
5
4
3
2
y=1x
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
Definin obor : D(f) = R
Obor hodnot : H(f) = R+\{0} (vechna kladn reln sla)
Logariotmick funkce
Obecn tvar funkce : y = logax (x > 0 , a > 0 , a <> 1)
Graf logaritmick funkce : (vdy prochz bodem [1;0], protoe loga 1 = 0)
y
4
3
2
1
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
-2
-3
-4
Funkce logaritmick a exponenciln jsou vzjemn inverzn.
@LH 3
@LH 6
14.SKALRN SOUIN DVOU VEKTOR
@LH 3
@LH 6
ODCHYLKY VEKTOR
Protoe u mnoha geometrickch a fyziklnch veliin (nap. u sly,
rychlosti, zrychlen, intenzity elektrickho pole, atd.) jsou podstatn ve
likost, a smr, vytv se jejich model (tzv. geometrick vektor) pomoc
pojmu orientovan seky neboli pomoc uspodan dvojice bod v rovin.
__
Vzanm vektorem nazvme orientovanou seku AB nebo uspodanou dvo
jici [A,B] bod, piem bod A nazvme potenm bodem vektoru a bod B
koncovm bodem vektoru. __
Nositelkou vzanho vektoru AB nazvame pmku AB.
Volnm vektorem nazvme mnoinu vech vzjemn ekvivalentnch vzanch
vektor (tzn. vektor, kter se rovnobاnm posunutm do jednoho spolenho
bodu ztoton).
Zobrazen vektoru v souadnm systmu
Vektor v rovin je dn uspodanou dvojic souadnic.
_ __
u = AB A = [x1;y1] B = [x2;y2]
u1 =x2 - x1
y u2 =y2 - y1
_
souadnice vektoru u
_ B
u
y2 - y1 = u2
A
Ĵ
x2 - x1 y2
y1 u = (u1;u2)
u1
0 x1 x2 x
_ _ _ _
Jestlie vektor u je relnm nsobkem vektoru v, pak vektory u a v jsou
rovnobاn (kolinern); zapisujeme u v.
Opan: _ _ _ _
Jestlie vektor u je kolinern s vektorem v, pak plat u = t . v.
Dva nenulov vektory nazvme souhlasn rovnobاn (souhlasn olinern
prv kdy jsou rovnobاn a maj stejn smr.
Dva nenulov vektory nazvme nesouhlasn rovnobاn (nesouhlasn koli
nern), prv kdy jsou rovnobاn a maj opan smr.
Skalrn souin vektor
_ _
u = (u1;u2) v = (v1;v2) :
_ _ _ _
1) u . v = v . u . cos
_ _
2) u . u = u1v1 + u2v2
Skalrn souin kolmch vektor je nula (cos 90 = 0).
Je-li skalrn souin nenulov, jsou vektory rznobاn.
Odchylka dvou rznobاnch vektor
Ze vzorc pro skalrn souin vektor odvodme vztah
u1v1 + u2v2
cov =
u.v
@LH 3
@LH 6
15.GONIOMETRICK ROVNICE
Goniometrickmi rovnicemi nazvme rovnice, kter krom konstant obsa
huj neznmou x (nebo vrazy s neznmou x) jako argumenty jedn nebo nkoli
ka goniometrikch funkc, tj. rovnice tvaru
f(sin x, cos x, tg x, cotg x, x) = 0
Zkladn goniometrickou rovnic s neznmou x nazvme rovnici typu
g(x) = k, kde g je goniometrick funkce a k je reln slo.
Vzhledem k periodinosti goniometrickch funkc m kad zkladn
goniometrick rovnice bu przdn nebo nekonen obor pravdivosti. Zpravidla
hledme jen een z intervalu <0,360>, tj. hledme tzv. zkladn hodnoty.
Poetn zpsob een
Pomoc goniometrickch vzorc pevedeme goniometrick funkce s ppad
nmi rznmi argumenty na funkce s tm argumentem. Potom ppadn rzn go
niometrick funkce vyjdme jedinou goniometrickou funkc. Zskan een
je teba vdy ovit dosazenm do vchoz rovnice, nebo pravy rovnic nemu
sely bt ekvivalentn.
Pklad:
Vypotte vechna x <0,360> z rovnice sin(2x) = sin x.
Podle vzorce pro sin(2x) je
2 sin x cos x = sin x
2 sin x cos x - sin x = 0
Z posledn rovnice lze vytknout sin x :
(sin x) (2 cos x - 1) = 0
sin x = 0 dv zkladn hodnoty x1 = 0, x2 = 180, x3 = 360;
2 cos x - 1 = 0 dv zkladn hodnoty x4 = 60, x5 = 300.
Zkouka ukazuje, e vechna nalezen een spluj danou rovnici,
take obor pravdivosi
P = {0, 60, 180, 300, 360}
Gragick zpsob een
Upravme danou rovnici na tvaf f(x) = g(x), kde f a g jsou goniometric
k funkce a pro vechna x <0,360> sestrojme grafy funkc y = f(x)
a y = g(x). eenm jsou souadnice prsek tchto graf.
Zkladn goniometrick vzorce
Soutov vty:
sin ( ) = sin cos cos sin
cos ( ) = cos cos sin sin
tg tg
tg ( ) =
1 + tg tg
Goniometrick funkce nsobnho hlu:
sin 2 = 2 sin cos
cos 2 = cos - sin
2 . tg
tg 2 =
1 - tg
Goniometrick funkce polovonho hlu:
1 - cos
sin = ˳
2 2
1 + cos
cos = ˳
2 2
1 - cos
tg = ˳
2 1 + cos
Pevod soutu a rozdlu sn a kosn na souin:
+ -
sin + sin = 2 . sin . cos
2 2
+ -
sin - sin = 2 . cos . sin č
2 2
+ -
cos + cos = 2 . cos . cos
2 2
+ -
cos - cos = 2 . sin . sin
2 2
@LH 3
@LH 6
16.prava goniometrickch vraz
Goniometrick funkce je spoleensk nzev pro funkce sinus (symbol
sin), kosinus (symbol cos), tangens (symbol tg) a kotangens (symbol cotg).
Jednotkov krunice
y /2
II. 1 I.
0 < < /2
/2 < <
M N
yM yM
-1 xM 0 xN 1 x
III. -1 IV.
3/2
M [xM,yM]
Ŀ Ŀ
sin = yM I. II. III . IV.
cos = xM Ĵ
sin + + - -
sin Ĵ
tg = , cos <> 0 cos + - - +
cos Ĵ
tg + - + -
cos Ĵ
cotg = , sin <> 0 cotg + - + -
sin
Zkladn vztahy mezi goniometrickmi funkcemi
sin + cos = 1 tg . cotg = 1
sin 1
tg = 1 + tg =
cos cos
cos 1
cotg = 1 + cotg =
sin sin
@LH 3
@LH 6
17.SNOV A KOSNOV VTA
Trojhelnk je n-helnk pro n = 3.
C
b a
A c B
Vta sinov
a : b : c = sin : sin : sin
Pomr stran obecnho trojhelnka je roven pomru sin vnitnch hl.
Vta kosinov (rozen Pythagorova vta)
Ŀ
a = b + c - 2 bc cos
b = a + c - 2 ac cos
c = a + b - 2 ab cos
Obsah tverce nad stranou obecnho trojhelnka je roven soutu obsah
tverc nad ostatnmi stranami mnus dvojnsobn souin tchto stran a kosi
nu hlu jimi sevenm.
Vty o urenosti trojhelnka
Trojhelnk je jednoznan uren, jsou-li dny tyto jeho prvky:
a) dlka strany a velikosti dvou k n pilehlch hl, jejich souet veli
kost je men ne 180 (vta usu)
b) dlky dvou stran a velikost hlu jimi sevenho (vta sus)
c) dv rzn dlky stran a velikost hlu protilehlho k del stran (vta
Ssu)
d) dlky t stran, pro nا plat a - b < c < a + b (vta sss)
een obecnho trojhelnka
eit obecn trojhelnk znamen urit na zklad danch prvk prvky
ostatn.
1) Je dna strana a a hly , (usu) :
= 180 - ( + )
sinov vta :
a sin a sin
b = c =
sin sin
2) Jsou dny strany a,b (b > a) a hel (Ssu) :
sinov vta :
a a sin
sin = . sin c =
b sin
= 180 - ( + )
3) Jsou dny strany b,c a hel (sus) :
kosinov vta : a = b + c - 2 bc cos
sinov vta :
b
sin = . sin
a
= 180 - ( + )
4) Jsou dny strany a,b,c (sss) :
kosinov vta :
b + c - a
cos =
2 bc
sinov vta :
b
sin = . sin Ѝ
a
= 180 - ( + )
@LH 3
@LH 6
18.KOLINERN A LINERN FUNKCE
Definice funkce
Mnoina M je podmnoinou mnoiny R. Funkce f je mnoina uspodanch
dvojic [x;y], pro kter plat : kadmu x M je piazeno prv jedno
y R (ne vce !).
Promnn x se nazv nezvisl promnn [argument] a promnn y se na
zv zvisle promnn. slo y R se pro urit x R (pro nا plat
[x;y] f) nazv funkn hodnota funkce f a oznauje se f(x).
Jinak : Funkce je kad zobrazen v mnoin R.
Grag funkce y = f(x) je mnoina vech bod o souadnicch [x;f(x)], kde
x D(f).
Definin obor funkce f je mnoina D, kter m tu vlastnost, e ke ka
dmu slu x D je piazeno prv jedno takov slo y, aby platilo
[x;y] f. Definin obor funkce zname D(f).
Obor hodnot funkce f je mnoina H, kter m tu vlastnost, e ke kadmu
slu y H existuje takov slo x D, aby platilo [x;y] f. Obor hodnot
funkce zname H(f).
Konstantn funkce f(x) = c je takov funkce, jej obor hodnot nabv
pouze jednoho sla (konstanty c). Defininm oborem tto funkce je cel
mnoina relnch sel. Grafem konstantn funkce je pmka rovnobاn s osou
x.
y
3
2 y = 1.5
1
x
-2 -1 0 1 2 3 4 5
-1
@LH 3
@LH 6
19.KVADRATICK ROVNICE
Kvadratick funkce
Je to kad funkce y = ax + bx + c a R\0, b,c R
f : {[x,y] RxR ; y = ax + bx + c }
ax ..... kvadratick len
bx ...... linern len
c ....... absolutn len
Kvadratick rovnice
y = 0 : ax + bx + c = 0
Hledme hodnoty promnn x, pro kter je hodnota funkce rovna nule.
een kvadratick rovnice
1. Rovnice bez absolutnho lene - e se vytknutm x
c = 0 :
ax + bx = 0
x . (ax + b) = 0
I. x1 = 0
II. ax + b = 0
b b
x2 = - P = { 0, - }
a a
Kvadratick rovnice bez absolutnho lene m vdy dva koeny, z nich
jeden je roven nule.
2. Rovnice ryze kvadratick
b = 0 :
ax + c = 0
c
x + = 0
a
c
x - - = 0
a
Ŀ
c c
x - - = 0 - 0
a a
c c
x + - . x - - = 0
a a
c
I. x + - = 0
a
c
x1 = - -
a
c
II. x - - = 0
a
c
x2 = -
a
c
P = { - }
a
Ryze kvadraticnk rovnice m vdy dva koeny, kter se li pouze znamenm
3. plan (obecn) kvadratick rovnice
ax + bx + c = 0
b c
a . x + x + = 0 / :a
a a
b c
x + x + = 0
a a
b b c b
x + - + = 0 x + = y
2a 4a a 2a
b c
y - + = 0
4a a
b c
y - + = 0
4a a
b c
y = - - rovnice ryze kvadratick
4a a
b - 4ac
y = /
4a
b - 4ac
y12 = č
4a
b - 4ac
y12 =
2a
b b - 4ac
x12 = - č
2a 2a
- b b - 4ac
x12 =
2a
b - 4ac = D - diskriminant kvadratick rovnice
Vznam diskriminantu D
-b D
x12 =
2a
D > 0 - dva koeny reln rzn (eenm je dvouprvkov mnoina relnch
sel)
D = 0 - jeden koen dvojnsobn (eenm je jednoprvkov mnoina)
D < 0 - rovnice nem reln een
Rozklad kvadratickho trojlenu na souin
ax + bx + c = 0 a,b,c R \ 0 - kvadratick trojlen
polome ax + bx + c = 0 .......... dostaneme koeny x1, x2
b c
x1 + x2 = - x1 . x2 =
a a
b c
ax + bx + c = a . x + x + =
a a
= a . x - (x1 + x2) . x + x1 . x2 =
= a . x - x . x1 - x . x2 + x1 . x2 =
= a . x . (x - x1) - x2 . (x - x1)
= a . (x - x1) . (x - x2) - souin koenovch initel
Zvr :
ax + bx + c = a . (x - x1) . (x - x2) , kde x1, x2 jsou
koeny kvadratick rovnice ax + bx + c = 0.
@LH 3
20.een soustavy rovnic
@LH 6
K jednoznanmu uren mnoiny vech een soustavy rovnic s n nezn
mmi je teba n vzjemn nezvislch a vzjemn si neodporujcch rovnic.
Zpsob een spov v tom, e se n rovnic s n neznmmi postupn redukuje
na jednu rovnici s jednou neznmou. Pomoc hodnoty jedn neznm vypoten
z tto rovnice lze postupn najt hodnoty ostatnch neznmch.
ZKLADN METODY EEN SOUSTAV
Dosazovac (substitun, vyluovac) metoda
eme jednu z rovnic pro kteroukoliv neznmou a zskan vraz dosadme
do druh rovnice. Tm odstranme jednu promnnou. Pokud po dosazen dostane
me rovnost 0 = 0, m soustava nekonen mnoho een, pokud dostaneme ne
pravdiv vrok, nem soustava dn een.
Stac (aditan, sluovac) metoda
Ob strany kad rovnice vynsobme takovm vhodnm slem, aby u jedn
z neznmch byl v obou rovnicch stejn koeficient, ale s opanm znamnkem.
Setenm obou rovnic pslunou neznmou odstranme. Pokud po dosazen dos
taneme rovnost 0 = 0, m soustava nekonen mnoho een, pokud dostaneme
nepravdiv vrok, nem soustava dn een.
@LH 3
@LH 6
21.Konstruktivn lohy
Shodn zobrazen
Shodn zobrazen (shodnost) je takov zobrazen, kter kadm dvma
prvkm A, B piazuje obrazy A',B' tak, e plat AB = A'B'.
Samodrun body - takov body, kter jsou danm zobrazenm piazeny
samy sob (A A').
Shodn zobrazen v rovin :
- osov soumrnost
- stedov soumrnost
- oten
- posunut
- totonost
@LH 3
@LH 6
22.N-t odmocnina nezpornho sla
Nezporn slo b, pro nا plat bn = a , se nazv n-t odmocnina
z sla a, a zna se na (msto a peme a). slo a se nazv zklad
odmocnny (odmocnnec) a slo n se nazv odmocnitel. ( a,b R0+, n N )
Pro odmocniny plat ( a,b R0+, m,n N, k Z ) :
Existuje prv jedno slo b, pro nا plat bn = a. Dle
n0 = 0 n1 = 1 1a = a
n(ab) = na . nb
a na
n˳ = (b <> 0)
b nb
(na)k = nak = ak/m (a <> 0)
na . ma = nman+m
a + b = [a + b + 2(ab)]
a - b = [a + b - 2(ab)] (a b)
a + (a - b) a - (a - b)
(a b) = ˳ ˳ (a b)
2 2
Usmrovn zlomk
Usmrnit zlomek znamen odstranit odmocninu nebo odmocniny ze jmnenovatele
vhodnm rozenm zlomku.
Pklad :
1 / .(4 - 8) 4 - 8 4 - 8 4 - 8
= = =
4 + 8 / .(4 - 8) (4 + 8) . (4 - 8) 4 - 8 8
Pklady :
1 a
= (a > 0)
a a
1 a b
= (a <> b, b > 0)
a b a - b
1 a b
= (a <> b, a > 0, b > 0)
a b a - b
@LH 3
@LH 6
23.Obsahy rovinch obrazc
Zkladn vzorce
1. Rovnobاnk ............... S = ava = ab sin
a) obdlnk ............. S = ab
b) tverec .............. S = a
c) kosotverec .......... S = av = u1u2
2. Trojhelnk : S = ava = bvb = cvc
S = ab sin = bc sin = ac sin
a + b + c
S = \/ s . (s - a) . (s - b) . (s - c) , s =
2
a + c
3. Lichobاnk ............... S = v
2
Obsah kruhu a jeho st
. d
Obsah kruhu ........................... S = . r =
4
Obvod kruhu ........................... o = 2 r = d
r
Obsah kruhov vsee ...... Sv = = r arc = l r
360
Kruhov vse je prnik kruhu a stedovho hlu.
Obsah kruhov see ...... Su = r (arc - sin )
Kruhov se je prnik kruhu a poloroviny.
@LH 3
@LH 6
24.Geometrick posloupnost
Posloupnost {an} se nazv geometrick posloupnost, prv kdy plat :
an+1 = an . q pro vechna n Z,
kde slo q<>0 se nazv kvocient geometrick posloupnosti {an}.
{an} = (a1, a1q, a1q2, a1q3, ...... )
Pro q > 1 je geometrick posloupnost pi : a1 > 0 - rostouc
a1 < 0 - klesajc
Pro 0 < q < 1 je geometrick posloupnost pi : a1 > 0 - klesajc
a1 < 0 - rostouc
Pro q < 0 je geometrick posloupnost alternujc (se stdavmi znamnky)
Pro q = 1 je dostaneme konstantn posloupnost, (s konstantnmi leny).
Pro n-t len geometrick posloupnosti plat :
an = a1qn-1 pro vechna n N
Pro souet prvnch n len geometrick posloupnosti plat :
a1(qn - 1) anq - a1
sn = = pro q <> 1
q - 1 q - 1
sn = a1n pro q = 1
Pravideln vzrst
@LH 3
@LH 6
25.Komplexn slo
slo komplexn je slo sloen z sti reln a sti ryze imaginrn.
Pro komplexn slo z = [a,b] se zavdj tyto pojmy:
a = Re z - reln st komplexnho sla z
_ b = Im z - imaginrn st komplexnho sla z
z = [a,-b] - slo komplexn sdruen k slu z
z = (a + b) - absolutn hodnota (modul) komplexnho sla z
Grafick znzornn komplexnch sel
Protoe kadmu komplexnmu slu z pslu prv jedna uspodan
dvojice [a,b], lze je znzornit jako bod [a,b] v tzv. Gaussov rovin (rovi
na komplexnch sel).
y
A(a)
4i . . . . . . . x bod A je obra
B . zem komplexnho
x . . . . . 3i . sla a
. .
. 2i .
. .
. 1i .
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
. -1i .
. .
. -2i . . . . . x A = 4 + 4i
. D B = -3 + 3i
x . . .-3i C = -2 - 3i
C D = 3 - 2i
-4i
Goniometrick tvar komplexnho sla
a = a1 + a2i - soutov (algebraick) tvar
a = (a1 + a2) - velikost komplexho sla a (absolutn hodnota)
y
A(a)
a
a2
0 x
- argument komplexnho sla - je to orientovan hel s potenm
ramenem +x a koncovm ramenem a (orientovan hel je hel, kter m
ureno poten a koncov rameno.
Komplexn slo a = a1 + a2i vyjden pomoc argumentu a absolutn
hodnoty a:
a1
cos = - a1 = a . cos
a
a2
sin = - a2 = a . sin
a
a = a1 + a2i
a = a . cos + ia . sin
a = a . (cos + i sin ) - komplexn slo v goniometrickm
tvaru
( a = 0 ) ...... a0 = cos + i sin - komplexn jednotka v gonio
metrickm tvaru
Absolutn hodnota komplexnho sla
Absolutn hodnota komplexnho sla je vzdlennost jeho obrazu od potku.
y
a R0+
A(a)
a a = (a1 + a2)
a2
a1 x
Komplexn sla opan
a = a1 + a2i k nmu opan : -a = -a1 - a2i
Obrazy komplexnch sel opanch jsou soumrn podle potku.
y
A(a)
-a1
0 a1 x
A'(a')
Komplexn sla sdruen
_
a = a1 + a2i k nmu sdruen : a = a1 - a2i
Komplexn sla sdruen se li pouze znamenm pi imaginrn sloce.
Obrazy komplexnch sel sdruench jsou soumrn podle reln osy.
y
A(a)
a2
0 a1 x
-a2
_
A(a)
@LH 3
@LH 6
26.een kvadritick rovnice v oboru
@LH 3
@LH 6
komplexnch sel
Kvadratick funkce
Je to kad funkce y = ax + bx + c a R\0, b,c R
f : {[x,y] RxR ; y = ax + bx + c }
ax ..... kvadratick len
bx ...... linern len
c ....... absolutn len
Kvadratick rovnice
y = 0 : ax + bx + c = 0
Hledme hodnoty promnn x, pro kter je hodnota funkce rovna nule.
ax2 + bx + c = 0 - b D
x12 =
D = b2 - 4ac 2a
D > 0 - dva koeny reln rzn
D = 0 - jeden koen dvojnsobn
D < 0 - rovnice nem een v oboru R (dva koeny komplexn sdruen)
een kvadratick rovnice
D = - D ..... D = (-D) = (-1.D) = (-1) . ˳D = i.˳D
- b -1 . D - b i D
x12 = =
2a 2a
-b ˳D
x12 = i
2a 2a
Komplexn sla sdruen
_
a = a1 + a2i k nmu sdruen : a = a1 - a2i
Komplexn sla sdruen se li pouze znamenm pi imaginrn sloce.
Obrazy komplexnch sel sdruench jsou soumrn podle reln osy.
y
A(a)
a2
0 a1 x
-a2
@LH 3
_
@LH 6
@LH 3
27.Linern rovnice a nerovnice
@LH 6
s absulutn hodnotou
Definice absolutn hodnoty
Absolutn hodnota relnho sla a se zna a a definuje se takto :
a 0 - a = a
a < 0 - a = - a
Rovnice nebo nerovnice s absolutn hodnotou se e nadvakrt : poprve pro
ppad, kdy je vraz v absolutn hodont kladn nebo roven nule a podruh
pro ppad, kdy je tento vraz zporn. Vsledn obor pravdivosti je pak dn
sjednocenm tchto dvou vsledk.
Pklad :
x R : x - 2 < 5
I. x - 2 0 ......... x - 2 = x - 2
x 2
x - 2 < 5
x < 7 P1 = <2 ; 7>
II. x - 2 < 0 ......... x - 2 = - (x - 2) = 2 - x
x < 2
2 - x < 5
- x < 3
x > -3 P2 = (-3 ; 2)
P = P1 U P2 = <2 ; 7> U (-3 ; 2) = (-3 ; 7)
Grafick znzornn :
y1 = x - 2 ; y2 = 5
y1 < y2
y
y1 = x - 2
5 y2 = 5
x
- 3 0 7
A(a)
@LH 3
@LH 6
28.Binomick vta
Faktoril sla n
Faktorilem sla n nazvme funkci F na mnoin vech nezpornch ce
lch sel, definovanou takto :
F(0) = 1
F(n + 1) = (n + 1) F(n) (n N0)
Msto F(n) peme n!. Plat 0! = 1. Pro n 1 je
n! = 1 . 2 . ..... . (n - 1) . n
Kombinan slo - jeho vpoet
n n . (n - 1) . (n - 2) . ....... . (n - k + 1)
=
k k!
Pascalv trojhelnk k uren kombinanch sel
n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1
n = 5 1 5 10 10 5 1
n = 6 1 6 15 20 15 6 1
Pascalv trojhelnk lze pout k odvozovn algebraickch vzorc, typu
(a b)n :
(a b)2 = a 2ab + b , odkud (a + b) = (a - b) + 4ab
(a b)3 = a3 3a2b + 3ab b3
(a b)4 = a4 4a3b + 6a2b2 4ab3 + b4
(a b)5 = a5 5a4b + 10a3b2 10a2b3 + 5ab4 b5
Binomick vta pro kladn celoseln exponenty n :
n n n n
(a + b)n = an + an-1b + an-2b2 + an-3b3 +
0 1 2 3
n n
+ ... + abn-1 + bn
n - 1 n
Pro (a - b)n plat pedchoz vzorec s tm rozdlem, e se u jednotlivch
len stdaj znamnka (ponaje kladnm).
Uren r-tho lene binomickho rozvoje
(a + b)n 0 < r < n
r-t len : n
= an-r+1 . br-1
r - 1
@LH 3
@LH 6
@LH 3
@LH 6
39. URIT INTEGRL
Uritm integrlem spojit funkce f(x) v mezch od a do b nazvme
prstek
b
f(x) dx = F(b) - F(a) ,
a
kter tak zapisujeme ve tvaru
b
F(x)
a
kde F je primitivn funkce k funkci f na intervalu (a,b); tento interval na
zvme integranm oborem a slo a nazvme doln (slo b horn) integra
n mez.
Vpoet uritho integrlu se takto pevd na uren primitivn
funkce, do n se za promnnou dosad postupn horn a doln mez integrlu
a vsledn hodnoty se (v uvedenm poad) odetou.
Vlastnosti uritho integrlu
a
f(x) dx = F(a) - F(a) = 0
a
a b
f(x) dx = - f(x) dx
b a
a < b < c :
c b c
f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx
a a b
Uit uritho integrlu
VPOET OBSAHU OBRAZC
.
y y = f(x)
. Hledme obsah obrazce
omezenho grafem, osou x
. a souadnicemi y v bo-
_y dech x1 a x2 (kivoar
. . lichobاnk).
Obsah S zvis na x (je
funkc promnn x).
y _ S y+_y
0 x1 x _x x2 x
y . _x < _S < (y + _y)._x / : _x > 0
_S
y < < y + _y
_x
Jestlie _x > 0 ....... _y > 0
_S
y < lim < y
_x->0 _x
_S
lim = y => S' = y (S'dx = dy)
_x->0 _x
S = y dx = F(x) + C
x = x1 : S(x1) = F(x1) + C = 0 => C = -F(x1) x2
x = x2 : S(x2) = F(x2) + C => S(x2) = F(x2) - F(x1) = y dx
x1
x1 x2
S = lim _S = f(x) dx
_x->0 x2 x1
Urit integrl je limita soutu nekonen mnoha nekonen malch element.
Obsah vypoten uritm integrlem vychz orientovan : nad osou x kladn,
pod osou x zporn.
VPOT OBJEMU ROTANCH TLES
Rotan tleso vznikne rotac grafu funkce y = f(x) kolem osy x (osa x je v
tomto ppad osa oten).
. [f(x)] . _x < _V < . [f(x + _x)] . _x / : _x
_V
. [f(x)] < < . [f(x + _x)]
_x
Jestlie _x > 0 ...... _y > 0 :
_V _V
. lim [f(x)] < lim < . lim [f(x)] => lim = . [f(x)]
_x->0 _x->0 _x _x->0 _x->0 _x
x2
V' = . [f(x)] => V = . [f(x)] dx
x1
b
VPOET DLKY OBLOUKU KIVKY : l = (1 + [f(x)]) dx
a
b
VPOET POVRCHU ROTANHO TLESA : A = 2 f(x) . (1 + [f'(x)]) dx
a
@LH 3
@LH 6
40. PARABOLA
Obecn algebraick rovnice druhho stupn v x a y :
F(x,y) = a11x + 2a12xy + a22y + 2a13x + 2a23y + a33 = 0
Koeficienty aik jsou reln sla. Touto rovnic lze vyjdit kadou kuelo
seku (tj. krunici, elipsu, hyperbolu, parabolu, dvojici pmek a bod).
Diskriminant kueloseky : a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Diskriminant kvadratickch len : = a11 a12
a21 a22
Je-li = 0 , je rovnic urena parabola, pi nenulov hodnot je
rovnic urena hyperbola nebo elipsa.
Definice paraboly :
Parabolou nazvme mnoinu prv tch bod roviny, kter maj stejn
vzdlenosti od pevnho bodu F tto roviny (ohnisko) a od pevn pmky d tto
roviny (pmka dc), piem pmka d neprochz bodem F.
d y
.
-----------------------o
. ' P
'
.
p p
- .-
2 2
D V0 F ox
'
'
.
' .
' .
'
F - ohnisko paraboly
d - dc [urujc] pmka [direktrix]
o - osa paraboly
V - vrchol paraboly
DF = p - poloparametr paraboly
2DF - parametr paraboly
PF - ohniskov prvodi
PL - dc prvodi
Rovnice paraboly v zkladn poloze (osa paraboly v ose x a vrchol
v potku) :
y = 2px
piem pro p>0 je parabola oteven doprava a pro p<0 je oteven doleva.
dc pmka m rovnici :
p p
x = - , a ohnisko F = ; 0
2 2
Vrcholov rovnice paraboly (osa paraboly rovnobاn s osou x a vrchol
V = [m,n] ) :
(y - n) = 2p(x - m)
piem pro p>0 je parabola oteven doprava a pro p<0 je oteven doleva.
dc pmka m rovnici :
p p
x = m - , a ohnisko F = m + ; n
2 2
Kvadratick funkce
Obecn tvar funkce : y = a2x + a1x + a0
Popis grafu : parabola druhho stupn (kvadratick parabola), jej osa je
rovnobاn s osou y.
Koeficient a2 m tento vznam :
a2 > 0 - parabola je oteven nahoru
a2 < 0 - parabola je oteven dol
Vrchol paraboly :
-a1 (a1)
V = ; - + a0
2a2 4a2
Zvltn ppady :
y = a2x - parabola s vrcholem v potku souadnho systmu
y = x + a0 - normln parabola s vrcholem V = [0 , a0]
y = (x + b) - normln parabola s vrcholem V = [-b , 0]
@LH 3
@LH 6
41. KOMBINATORIKA
Kombinatorika pat do binrn matematiky (jedn o konench mnoinch
a jejich podmnoinch).
Zkladn pojmy
[a ; b] - uspodan dvojice ( [a;b] nen totono s [b;a] ! )
[a1; a2; a3; ... ; ak] - uspodan k-tice
V uspodan k-tici zle na poed prvk (zmnou prvk dostaneme ji
nou k-tici).
VARIACE
Variace k-t tdy n prvk jsou uspodan k-tice tvoen z mnoiny o n prv
cch, v nich se kad prvek vyskytuje pouze jednou.
Vk(n) - variace k-t tdy n prvk
Poet variac k-t tdy n prvk :
V1(n) = n
V2(n) = n . (n - 1)
V3(n) = n . (n - 1) . (n - 2)
V4(n) = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3)
n! n
Vk(n) = n . (n - 1) . (n - 2) . ........ . (n - k + 1) = = k!
(n - k)! k
PERMUTACE
Permutace jsou variace n-t tdy n prvk :
Vn(n) = P(n) = n . (n - 1) . (n - 2) . ..... . 3 . 2 . 1 = n!
n initel
Permutace se li pouze pestavnm prvk.
Pklad :
Kolik rznch trikolor lze vytvoit ze t barev ?
t = V3(3) = P(3) = 3 . 2 . 1 = 3! = 6
KOMBINACE
Kombinac k-t tdy n nazvme kadou podmnoinu o k prvcch z mnoiny
o n prvcch. U kombinace bez opakovn nepihlme k uspodn prvk, pro
toe kad prvek z danch n prvk se v jedn kombinaci me vyskytnout nej
ve jednou.
Poet vech kombinac k-t tdy z n prvk bez opakovn :
(n k)
n n(n - 1) ... (n - k + 1) n! Vk(n)
Ck(n) = = = =
k 1.2 ... k k!(n - k)! P(k)
Pklad :
Kolik monost by bylo pi tahu Sportky, kdyby se poet sport rozil
na 90 a poet taench sel zmenil na pt?
n = 90, k = 5
90
C5(90) = = 43 949 268
5
VARIACE S OPAKOVNM
Variace k-t tdy n prvk s opakovnm jsou uspodan k-tice tvoen
z mnoiny o n prvcch, v nich se kad prvek me vyskytovat a k-krt.
V'k(n) - variace k-t tdy n prvk s opakovnm
Poet variac k-t tdy n prvk s opakovnm :
V'k(n) = nk
Pklad :
Kolik monost je pi vyplovn szenky o 12 utknch ?
n = 3 (vtzstv, prohra, nerozhodn)
k = 12
V'12(3) = 312 = 531441
@LH 3
@LH 6
42. UIT INTEGRLNHO POTU
Uritm integrlem spojit funkce f(x) v mezch od a do b nazvme
prstek
b
f(x) dx = F(b) - F(a) ,
a
kter tak zapisujeme ve tvaru
b
F(x)
a
kde F je primitivn funkce k funkci f na intervalu (a,b); tento interval na
zvme integranm oborem a slo a nazvme doln (slo b horn) integra
n mez.
Vpoet uritho integrlu se takto pevd na uren primitivn
funkce, do n se za promnnou dosad postupn horn a doln mez integrlu
a vsledn hodnoty se (v uvedenm poad) odetou.
Vlastnosti uritho integrlu
a
f(x) dx = F(a) - F(a) = 0
a
a b
f(x) dx = - f(x) dx
b a
a < b < c :
c b c
f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx
a a b
Zkladn integran vzorce
xn+1
xn dx = + C n <> -1
n + 1
Ǎ
x-1 dx = ln x + C
Ǎ
sin x dx = - cos x + C
Ǎ
cos x dx = sin x + C
1
dx = tg x + C
cosx
1
dx = -cotg x + C
sinx
Ǎ
ex dx = ex + C
ax
ax dx = + C
ln a
Uit integrlnho potu v technice (pklady)
Pklad 1 :
Urete prci, vykonanou expanz plynu z objemu V1 na objem V2,
psob-li na plonou jednotku pstu o ploe S tlak p (jednotkov tlak).
celkov tlak na pst : F = S . p
dA = F . dx = S . p . dx
S . dx = dV => dA = p . dV
dx
Ĵ
Ĵ V2
S /\ A = p . dV
V1 p V1
_________________
Pklad 2 :
Urete tuto prci, jestlie zvislost tlaku na objemu je izotermick :
k
p . V = konst , p =
V
v2 v2
k v2 V2
= p dV = dV = k . lnV = k . ln
V v1 V1
v1 v1
Pklad 3 :
urete tlak na hrz tvaru rovnoramennho lichobاnka o dlce jedn
zkladny 40 m (v rovni hladiny), dlce druh zkladny 15 m (u dna) a vce
ponoen sti 8 m.
12,5
|<>|
| | 40 m
\ | /
\ | /
\ | / 8 m
\ | /
\ /
15 m
dF = r.z.h.dx ( z = g(h) )
8 h 8x
tg = = => h =
12,5 x 12,5
40 - z
8 .
40 - z 2 4 . (40 - z)
x = => h = =
2 12,5 12,5
4 . (40 - z) 8
Fh = r . . h dh
12,5 0
@LH 3
@LH 6
43. HYPERBOLA
Obecn algebraick rovnice druhho stupn v x a y :
F(x,y) = a11x + 2a12xy + a22y + 2a13x + 2a23y + a33 = 0
Koeficienty aik jsou reln sla. Touto rovnic lze vyjdit kadou kuelo
seku (tj. krunici, elipsu, hyperbolu, parabolu, dvojici pmek a bod).
Diskriminant kueloseky : a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Diskriminant kvadratickch len : = a11 a12
a21 a22
Je-li = 0 , je rovnic urena parabola, pi nenulov hodnot je
rovnic urena hyperbola nebo elipsa.
Definice hyperboly :
Hyperbolou nazvme mnoinu prv tch bod M v rovin, kter maj od
dvou pevnch bod E, F (ohniska) konstantn rozdl vzdlenost
ME - MF = 2a, priem je 0 < 2a < 2e = EF.
y
M
C
A B
E OS b F x
a
D
e
<>
E,F - ohniska
A,B - hlavn vrcholy
C,D - vedlej vrcholy (imaginrn)
S - sted hyperboly
EM - FM = 2a - konstantn rozdl
EM, FM - prvodie
SA = SB = a - dlka reln poloosy AS, pop. SB
2a - dlka reln osy AB
SC = SD = b - dlka imagirn poloosy SC, pop. SD
2b - dlka imaginrn osy CD
EF = 2e
e = (a + b) - dkov vstednost (excentricita)
as - asymptoty (teny v nekonenu)
Rovnice hyperboly v zkladn poloze SO , AB x , CD y
x y
- = 1
a b
E = [-e ; 0] F = [e ; 0] M = [x ; y]
Stedov rovnice hyperboly S = [m ; n] , AB x , CD y
Pouijeme transformaci souadnic :
(x-m) (y-n)
- = 1
a b
Rovnice hyperboly, kter m asymptoty toton s osami souadnho systmu :
a
xy =
2
Jestlie se velikost poloosy a rovn velikosti poloosy b, jedn se
o rovnoosou hyperbolu.
@LH 3
@LH 6
44. KOMBINACE
Faktoril sla n
Faktorilem sla n nazvme funkci F na mnoin vech nezpornch ce
lch sel, definovanou takto :
F(0) = 1
F(n + 1) = (n + 1) F(n) (n N0)
Msto F(n) peme n!. Plat 0! = 1. Pro n 1 je
n! = 1 . 2 . ..... . (n - 1) . n
Kombinace bez opakovn
Definice :
Kombinac k-t tdy z n bez opakovn prvk nazvme kadou podmnoinu
o k prvcch z mnoiny o n prvcch. U kombinace bez opakovn nepihlme
k uspodn prvk, protoe kad prvek z danch n prvk se v jedn kombina
ci me vyskytnout nejve jednou.
Poet vech kombinac k-t tdy z n prvk bez opakovn :
(n k)
n n(n - 1) ... (n - k + 1) n! Vk(n)
Ck(n) = = = =
k 1.2 ... k k!(n - k)! P(k)
Pklad :
Kolik monost by bylo pi tahu Sportky, kdyby se poet sport rozil
na 90 a poet taench sel zmenil na pt?
n = 90, k = 5
90
C5(90) = = 43 949 268
5
Kombinace s opakovnm
Definice :
Kombinac k-t tdy z n-prvkov mnoiny M s opakovnm nazvme kadou
skupinu o k prvcch vytvoenou z mnoiny M tak, e v tto skupin se kad
prvek me vyskytovat a k-krt.
Poet vech kombinac k-t tdy z n prvk s opakovnm :
n + k - 1 (n + k - 1)!
Ck(n) = =
k k!(n -1)!
Pklad :
Kolik kombiunac tet tdy s opakovnm lze vytvoit z pti slic
2, 3, 4, 5, 6 ?
5 + 3 - 1 7 7.6.5
C3(5) = = = = 35
3 3 1.2.3
Pascalv trojhelnk k uren kombinanch sel
n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1
n = 5 1 5 10 10 5 1
n = 6 1 6 15 20 15 6 1
Prvn a posledn slo v kadm dku schmatu je vdy rovno 1. Kad
slo uvnit schmatu se rovn soutu dvou nejblich sel z pedchozho
n
dku. Kombinan slo je v tomto schmatu v (n + 1)-nm dku na
k
(k + 1)-nm mst.
Uit v binomick vt
Pascalv trpjhelnk lze pout k odvozovn algebraickch vzorc, typu
(a b)n :
(a b)2 = a 2ab + b , odkud (a + b) = (a - b) + 4ab
(a b)3 = a3 3a2b + 3ab b3
(a b)4 = a4 4a3b + 6a2b2 4ab3 + b4
(a b)5 = a5 5a4b + 10a3b2 10a2b3 + 5ab4 b5
Binomick vta pro kladn celoseln exponenty n :
n n n n
(a + b)n = an + an-1b + an-2b2 + an-3b3 +
0 1 2 3
n n
+ ... + abn-1 + bn
n - 1 n
Pro (a - b)n plat pedchoz vzorec s tm rozdlem, e se u jednotlivch
len stdaj znamnka (ponaje kladnm).
@LH 3
@LH 6
45. ELIPSA
Obecn algebraick rovnice druhho stupn v x a y :
F(x,y) = a11x + 2a12xy + a22y + 2a13x + 2a23y + a33 = 0
Koeficienty aik jsou reln sla. Touto rovnic lze vyjdit kadou kuelo
seku (tj. krunici, elipsu, hyperbolu, parabolu, dvojici pmek a bod).
Diskriminant kueloseky : a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Diskriminant kvadratickch len : = a11 a12
a21 a22
Je-li = 0 , je rovnic urena parabola, pi nenulov hodnot je
rovnic urena hyperbola nebo elipsa.
Definice elipsy :
Elipsou nazvme mnoinu prv tch bod M v rovin, kter maj od dvou
pevnch bod E, F (ohniska) konstantn souet vzdlenost ME + MF = 2a,
priem je 2a > EF = 2e > 0.
Z podmnky ME + MF = 2a plyne vlknov (nitkov) konstrukce elipsy.
y
C
M[x,y]
A E SO e F B x
a b
<>
D
E,F - ohniska
A,B - hlavn vrholy
C,D - vedlej vrcholy
S - sted elipsy
ME + MF = 2a - konstantn souet
ME, MF - prvodie
AB = 2a - dlka hlavn osy
a - dlka hlavn poloosy
CD = 2b - dlka vedlej osy
b - dlka vedlej poloosy (b < a)
EF = 2e
e = (a - b) - dlkov vstednost (excentricita)
Rovnice elipsy v zkladn poloze SO , AB x , CD y
x y
+ = 1
a b
E = [-e ; 0] F = [e ; 0] M = [x ; y]
Stedov rovnice elipsy S = [m ; n] , AB x , CD y
Pouijeme transformaci souadnic :
(x-m) (y-n)
+ = 1
a b
Jestlie se velikost poloosy a rovn velikosti poloosy b, dostaneme
krunici (krunice je zvltnm ppadem elipsy).
Dkaz :
x y x + y̍
+ = 1 => = 1 / .a
a a a
x + y = a - stedov rovnice krunice
@LH 3
@LH 6
46. ROVNICE S NEZNMOU V ODMOCNNCI
Nezporn slo b, pro nا plat bn = a , se nazv n-t odmocnina
z sla a, a zna se na (msto a peme a). slo a se nazv zklad
odmocniny (odmocnnec) a slo n se nazv odmocnitel. ( a,b R0+, n N )
Pro odmocniny plat ( a,b R0+, m,n N, k Z ) :
Existuje prv jedno slo b, pro nا plat bn = a. Dle
n0 = 0 n1 = 1 1a = a
n(ab) = na . nb
a na
n˳ = (b <> 0)
b nb
(na)k = nak = ak/m (a <> 0)
na . ma = nman+m
a + b = [a + b + 2(ab)]
a - b = [a + b - 2(ab)] (a b)
a + (a - b) a - (a - b)
(a b) = ˳ ˳ (a b)
2 2
Protoe umocnn nen ekvivalentn prava rovnive, je u tchto rovnic
zkouka sprvnosti soust een.
@LH 3
@LH 6
47. VZJEMN POLOHA PMKY A KUELOSEKY
@LH 3
@LH 6
48. PRAVDPODOBNOST
Nhodn jev A je takov jev, kter me nastat za uritch podmnek, ale
jeho vskyt nen jist.
Pravdpodobnost, se kterou nastane jev A : p(A)
1) Pravdpodobnost nemonho jevu : p(A) = 0
2) Pravdpodobnost jistho jevu : p(A) = 1
Definice :
Kadmu jevu A, tj. kadmu monmu vsledku pokusu, je piazeno slo
p = p(A), zvan pravdpodobnost jevu A, pro nا plat
0 p(A) 1
m
Pravdpodobnost : p(A) =
n
m - poet ppad, v nich jev A natane (poet pznivch jev A)
n - poet vech monch jev
@LH 3
@LH 6
49. DERIVACE FUNKCE
Derivace funkce
Definice :
Derivace funkce je limita podlu prstku funkce ku prstku promnn
_x, kdy _x->0. Geometricky pedstavuje derivace funkce y = f(x) smrnici
teny t grafu funkce y = f(x) v danm bodu x.
f( x + _x ) - f(x)
y' = lim
_x->0 _x
y
y = f(x)
B s
t
A _y
Ĵ
f(x) f(x+_x)
0 x _x x+_x x _y
ks = tg =
_x
_y = f(x + _x) - f(x) _x . . . prstek promnn x
_y . . . prstek funkce
ks . . . smrnice seny AB
Zkladn vzorce
1) y = c .............. y' = 0
2) y = xn ............. y' = n . xn-1
3) y = c . f(x) ....... y' = c . f'(x)
4) y = f(x) g(x) .... y' = f'(x) g'(x)
5) y = g(x) . g(x) .... y' = f'(x) . g(x) + f(x) . g'(x)
1 - g'(x)
6) y = ........... y' =
g(x) [g(x)]
f(x) f'(x) . g(x) - f(x) . g'(x)
7) y = ........... y' =
g(x) [g(x)]
8) y = ax ............. y' = ax . ln a
y = ex ............. y' = ex
y = e-x ............ y' = - ex
9) y = sin x .......... y' = cos x
y = cos x .......... y' = - sin x
1
y = tg x ........... y' =
cosx
1
y = cotg x ......... y' = -
sinx
1
10) y = ln x .......... y' =
x
1
11) y = loga x ........ y' = . ln a
x
1 1
y = log x ......... y' = . ln 10 = . log e
x x
Derivace funkce sloen
Sloen funkce - y = f[g(x)]
Derivace funkce sloen je rovna souinu derivace funkce y podle pro
mnn z a derivace funkce z podle promnn x (souin derivace vnj funkce
a derivace vnitn funkce).
y = f[g(x)]
g(x) = z : y = f(z)
vnj funkce
vnitn funkce
Geometrick vznam derivace
Pomoc derivace lze analyzovat danou funkci (resp. jej graf). Lze urit
interval, v nm je funkce vypukl (konvexn), vydut (konkvn), rostouc,
klesajc, lze urit minimum a maximum (tzv. extrmy) a inflexn bod (pokud
existuj).
M-li funkce y = f(x) v bod x0 kladnou derivaci, je v bod x0 rostouc.
M-li funkce y = f(x) v bod x0 zpornou derivaci, je v bod x0 klesajc.
M-li funkce y = f(x) v bod x0 nulovou hodnotu, m v bod x0 extrm.
Vypuklost (konvexnost)
y = f(x)
Pro hodnoty, v nich je graf vypukl :
1) pechz z hodnot tupho hlu do hodnot
ostrho hlu
2) tg je funkce rostouc :
tg = k = f'(x) ..... f''(x) > 0
V bodech, v nich je graf funkce vypukl m druh derivace hodnotu kladnou.
V bodu, v nm m graf vypukl funkce minimum m druh derivace hodnotu
kladnou.
Vydutost (konkvnost)
y = f(x)
Pro hodnoty, v nich je graf vydut :
1) se zmenuje k nule a dle do zpornho
hlu
2) tg je funkce klesajc :
tg = k = f'(x) ..... f''(x) < 0
č
V bodech, v nich je graf funkce vydut m druh derivace hodnotu zpornou.
V bodu, v nm m graf vydut funkce minimum m druh derivace hodnotu z
pornou.
Inflexn bod
y = f(x)
V bodu I (inflexn bod) pechz graf z jedn strany teny ti (inflexn te
na) na druhou stranu teny ti. V bodu inflexnm m druh derivace nulovou
hodnotu ( f''(x) = 0 ).
@LH 3
@LH 6
50. TROJHELNK
@LH 3
@LH 6
51. VZJEMN POLOHA PMKY A ROVINY
Parametrick rovnice pmky
->
Pmka je dna bodem A = [x1;y1;z1] a smrovm vektorem s (s1;s2;s3):
x = x1 + ts1
y = y1 + ts2 t - parametr
z = z1 + ts3
Obecn rovnice pmky v prostoru neexistuje (rovnic Ax + By + Cz + d = 0 je
urena rovina).
Obecn rovnice roviny - Ax + By + Cz + d = 0
- normlov vektor - n = (A;B;C)
Odchylka dvou rznobاnch vektor
Ze vzorc pro skalrn souin vektor odvodme vztah
u1v1 + u2v2
cov = ,
u.v
kde je hel, kter vektory svraj.
Vzjemnou polohu pmky a roviny zjistme z een soustavy jejich
rovnic. Mohou nastat tyto ti ppady :
1) Nekonen mnoho een - pmka le v rovin
2) Jedno een - pmka protn rovinu v prseku P, jeho souadnice
jsou eenm soustavy.
3) Soustava nem een - pmka je rovnobاn s rovinou; jej vzdle
nost od roviny se vypot podle vzorce
ax0 + by0 + cz0 + d
v =
(a + b + c)
Odchylka pmky od roviny
Odchylka (0 90) pmky p se smrovm vektorem u = (u1; u2; u3) a
roviny s normlovm vektorem v = (v1; v2; v3) se vypot podle vzorce
u1v1 + u2v2 + u3v3
sin =
(u1 + u2 + u3) . (v1 + v2 + v3)
@LH 3
@LH 6
52. VZJEMN POLOHA DVOU PMEK
Pmka je prsenic dvou rovin. Zna se malmi latinskmi psmeny (a,
b, p, g, ...). Jsou-li A, B dva rzn body pmky, pak se tato pmka zna
" pmka AB ".
Parametrick rovnice pmky
->
Pmka je dna bodem A = [x1;y1] a smrovm vektorem s (s1;s2):
->
p = ( A ; s )
Bod X m souadnice [x;y]. Rovnice pmky je vztah, kter plat pro souad
nice kadho bodu X pmky p :
x = x1 + ts1 t - parametr
y = y1 + ts2
Parametrick rovnice pmky v prostoru
x = x1 + ts1
y = y1 + ts2
z = z1 + ts3
Obecn rovnice pmky
A x + B y + C = 0 - Pmka je dna linern rovnic o dvou
promnnch
Obecn rovnice pmky v prostoru neexistuje (rovnic Ax + By + Cz + d = 0 je
urena rovina).
Dv pmky vi sob mohou bt - mimobاn
- rznobاn
- rovnobاn
- rovnobاn splvajc (toton)
Vzlemnou polohu dvou pmek urme z vsledku een soustavy jejich
obecnch rovnic (pokud jsou zadny jinak, pevedeme jejich rovice na obecn
tvar). Mohou nastat ti ppady:
1. nekonen mnoho een - pmnky jsou rovnobاn splvajc (existuje ne
konen mnoho bod, kter le na obou pmkch)
2. jedno een - pmky jsou rznobاn (existuje prv jeden bod, kter
le na obou pmkch - prsek P. Jeho souadnice jsou
eenm soustavy rovnic pmek)
3. soustava nem een - pmky jsou rovnobاn (v rovin) nebo mimobاn
(v prostoru)
hel dvou pmek
hel dvou pmek v rovin je ostr hel, kter pmky svraj. Urme
jej jako hel normlovch nebo smrovch vektor. Jestlie r je smrov vek
tor pmky k a s je smrov vektor pmky l a pmky k a l jsou rznobاky,
pak hel , kter svraj, vypoteme ze vzorce
r1s1 + r2s2
cos =
r.s
Vzdlenost rovnobاek
Vzdlenost v dvou rovnobاnch pmek p, q je rovna vzdlenosti
libovolnho bodu A jedn pmky od druh pmky, a vypot se podle vzorce:
ax0 + by0 + c
v = '
(a + b)
kde M = [x0,y0] p , q : ax + by + c = 0
@LH 3
@LH 6
53. OBJEM A POVRCH TLES
@LH 3
@LH 6
54.LOGARITMICK ROVNICE
Definice logaritmu :
Logaritmus kladnho sla x je mocnitel y, na kter musme umocnit zvo
len zklad a, abychom dostali dan kladn slo x.
Logaritmickou rovnic nazvme takovou rovnici, kde se promnn x vys
kytuje v logaritmickm vrazu (je logaritmovna). Obecn lze logaritmick
rovnice eit jen graficky nebo piblinmi numerickmi metodami. Jen v nk
terch jednoduchch zvltnch ppadech lze tyto rovnice pevst vhodnou
substituc na algebraick rovnice.
Zkladn logaritmick rovnice :
logax = b (a>0 , a<>1)
Plat-li b = logac, pak
logax = logac - x = c,
jinak je x = ab.
Vyskytuje-li se promnn x nebo mnoholen P jen jako argument logarit
mu, lze logaritmickou rovnici pevst na algebraickou v tchto ppadech :
a) Rovnice obsahuje koeny tho argumentu. Takov rovnice se e tak, e
logaritmus tohoto argumentu povaujeme za novou neznmou y, najdeme koe
ny nov rovnice a umocnnm zkladu logaritmu tmito kopeny dostaneme
koeny dan rovnice.
b) Logaritmick rovnice tvaru
c1 loga P1(x) + c2 loga P2(x) + ... + cn loga Pn(x) = 0,
kde P1, P2, ..., Pn jsou mnoholeny v promnn x, se na algebraickou rovnici
pevede odlogaritmovnm. V tomto ppad je teba se vdy pesvdit, zda
pro nalezen koeny m pvodn rovnice smysl a zda j tyto koeny vyhovuj.
Logariotmick funkce
Obecn tvar funkce : y = logax (x > 0 , a > 0 , a <> 1)
Graf logaritmick funkce : (vdy prochz bodem [1;0], protoe loga 1 = 0)
y
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
-1
-2
-3
-4
Funkce logaritmick a exponenciln jsou vzjemn inverzn.
@LH 3
@LH 6
55. GEOMETRICK POSLOUPNOST - UIT
@LH 3
@LH 6
56. VZDLENNOST BODU OD PMKY, OD ROVINY
Vzdlenost bodu od pmky
Je dna pmka p : ax + by + c = 0 a bod M = [x0;y0], kter na n nele.
@LH 3
@LH 6
57. OBJEM A POVRCH KOULE
@LH 3
@LH 6
58. MOCNINY S RACIONLNM MOCNITETLEM
@LH 3
@LH 6
59. SHODN ZOBRAZEN
Zkladn pojmy
Uspodan dvojice - takov dvojice prvk, kde zle na poad prvk
Kartzsk souin mnoin A,B - mnoina vech uspodanch dvojic [x,y], kde
x je prvkem mnoiny A, y je prvkem mnoiny B
Zapisujeme : A x B
Zobrazen :
Zobrazn z mnoiny A do mnoiny B je pedpis, kter kadmu prvku x
z mnoiny A piazuje prv jeden (ne vce !) prvek y z mnoiny B.
Zobrazen prost - takov zobrazen, kde kad obraz m nejve jeden vzor
Vzjemn jednoznan zobrazen - prost zobraen mnoiny A na mnoinu B.
(kadmu vzoru jeden odraz, kadmu obra
zu jeden vzor). A i B maj stejn poet
prvk.
Shodn zobrazen
Shodn zobrazen (shodnost) je takov zobrazen, kter kadm dvma
prvkm A, B piazuje obrazy A',B' tak, e plat AB = A'B'.
Samodrun body - takov body, kter jsou danm zobrazenm piazeny
samy sob (A A').
Shodn zobrazen v rovin :
- osov soumrnost
- stedov soumrnost
- oten
- posunut
- totonost
1. Osov soumrnost
Je dna osou soumrnost
Pedpis :
Ŀ
A'P = AP
A'A
Samodrun body : kad bod osy soumrnosti
Samodrun pmky : osa soumrnosti a kad pmka k n kolm
Sob odpovdajc si pmky v osov soumrnosti (vzor a obraz) se protnaj
na ose soumrnosti.
2. Stedov soumrnost
Je dna stedem soumrnosti S
Pedpis :
Ŀ
S,A,A' - le v pmce
A'S = AS
Samodrun body : pouze sted soumrnoti
Samodrun pmky : kad pmka prochzejc stedem soumrnosti
3. Oten (rotace)
Je dno stedem oten S a hlem oten
Pedpis :
Ŀ
SA' = SA
ASA' =
4. Posunut (translace)
->
Je dno vektorem v
Pedpis :
Ŀ
AA' = v
AA' v
Samodrun body : je-li vektor posunut nenulov, neexistuj; je-li vektor
posunut nulov, je samodrun kad bod
Samodrun pmky : je-li vektor posunut nenulov, je samodrun kad
pmka s nm rovnobاn; je-li vektor posunut nulov,
je samodrun kad pmka
5. Totonost (identita)
Pro obraz X' kadho bodu X plat : X' X.
Samodrun body : kad bod je samodrun
Samodrun pmky : kad pmka je samodrun
@LH 3
@LH 6
60. VARIACE, PERMUTACE
VARIACE
Variace k-t tdy n prvk jsou uspodan k-tice tvoen z mnoiny o n prv
cch, v nich se kad prvek vyskytuje pouze jednou.
Vk(n) - variace k-t tdy n prvk
Poet variac k-t tdy n prvk :
V1(n) = n
V2(n) = n . (n - 1)
V3(n) = n . (n - 1) . (n - 2)
V4(n) = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3)
n! n
Vk(n) = n . (n - 1) . (n - 2) . ........ . (n - k + 1) = = k!
(n - k)! k
PERMUTACE
Permutace jsou variace n-t tdy n prvk :
Vn(n) = P(n) = n . (n - 1) . (n - 2) . ..... . 3 . 2 . 1 = n!
n initel
Permutace se li pouze pestavnm prvk.
Pklad :
Kolik rznch trikolor lze vytvoit ze t barev ?
t = V3(3) = P(3) = 3 . 2 . 1 = 3! = 6
Faktoril sla n
Faktorilem sla n nazvme funkci F na mnoin vech nezpornch
celch sel, definovanou takto :
F(0) = 1
F(n + 1) = (n + 1) F(n) (n N0)
Msto F(n) peme n!. Plat 0! = 1. Pro n 1 je
n! = 1 . 2 . ..... . (n - 1) . n
VARIACE S OPAKOVNM
Variace k-t tdy n prvk s opakovnm jsou uspodan k-tice tvoen
z mnoiny o n prvcch, v nich se kad prvek me vyskytovat a k-krt.
V'k(n) - variace k-t tdy n prvk s opakovnm
Poet variac k-t tdy n prvk s opakovnm :
V'k(n) = nk
Pklad :
Kolik monost je pi vyplovn szenky o 12 utknch ?
n = 3 (vtzstv, prohra, nerozhodn)
k = 12
V'12(3) = 312 = 531441