Matematika - opakování 4 - Teorie

Číselné obory
Reálná čísla
R, platí pro ně komutativnost sčítání a komutativnost násobení (a+b=b+a), dále asociativnost sčítání a násobení ( (a+b)+c=a+(b+c) ) množina všech čísel, která lze vyjádřit konečným nebo nekonečným desetinným zlomkem
Přirozená čísla
N, množina všech čísel tvořena čísly 1,2,3…
Celá čísla
Z, množina celých čísel Z je množina všech čísel, z nichž každé lze vyjádřit jako rozdíl 2 přirozených čísel
Racionální čísla
množina všech čísel, která lze zapsat ve tvaru zlomku
Prvočíslo
číslo jehož dělitelem je pouze ono samé a 1, pokud je dělitelné ještě něčím jiným, pak mluvíme o čísle složeném
Dělitelnost
číslo a je dělitelné číslem b, právě když existuje takové přirozené číslo k, že platí a=bk (v oboru přirozených čísel)

Exponenciální rovnicí nazveme takovou rovnici, kde neznámá je ve tvaru exponentu.
Logaritmus součinu kladných čísel je roven součtu jejich logaritmů.

log ab = log a + log b

Logaritmus podílů kladných čísel je roven rozdílu jejich logaritmů.

log a/b = log a - log b

Logaritmus mocniny s kladným základem je roven součinu mocnitele a logaritmu základu mocniny

log a k = k log a

Exponenciální fce je dána předpisem y= a x, kde a >0, jejím grafem je exponenciální křivka, pro a (0,1) je klesající, pro a(1,+) je stoupající.
Logaritmická funkce kladného čísla y při kladném základů a různém od jedné je takové číslo (exponent), kterým musíme umocnit daný základ a, abychom dostali dané číslo y. Grafem je logaritmická křivka (inverze exp.+).
Přirozený logaritmus je logaritmus o základu e.

Posloupnost je funkce definovaná v množině přirozených čísel, n-tý člen posloupnosti je funkční hodnota přiřazená přirozenému číslu n a nejčastěji se značí an.
Grafem posloupnosti je množina izolovaných bodů.
Každá posloupnost má nejvýše 1 limitu.

Říkáme, že posloupnost má limitu L právě tehdy , když ke každému číslu e (epsilon) >0 existuje takové n0, že pro všechna přirozená čísla n > n0 platí a_n-L < e
Nekonečná geometrická řada se rovná součtu jednotlivých členů této řady. Součet je definován jako limita posloupnosti částečných součtů nekonečné řady.
Geometrická nekonečná řada je řada a1 + a1q + a1q2 …, jejíž členy tvoří geometrickou posloupnost. Tato řada je konvergentní právě tehdy, když pro její kvocient platí q < 1.

Vzorce

Aritmetická posloupnost
a_n=a₁ + (n-1)d
s_n = n/2 (a₁ + a_n)

Geometrická posloupnost
a_n = a₁ q_n-1
s_n = a₁ (q_n - 1)/(q-1)

Věty o limitách
lim(a_n + b_n) = lim a_n + lim b_n
lim(a_n - b_n) = lim a_n - lim b_n

Nekonečná řada
s= a₁/(1-q)